结论前置：试用期员工公司可以开除，但必须满足法定条件并严格遵循法定程序。若用人单位违法解除劳动合同，将可能面临支付赔偿金等法律责任。以下是对这一问题的详细分析：
一、可以合法开除的情形
不符合录用条件
- 用人单位需在招聘时明确具体的录用条件，如学历、工作经验、专业技能等，并通过科学合理的考核机制来证明员工不符合这些条件。考核过程应公开、公平、公正，并保留好考核记录。若员工在试用期内的表现未达到招聘标准，用人单位可据此解除劳动合同。
- 实例说明：如公司招聘一名会计，要求具备会计从业资格证和一定的财务处理经验。员工在试用期内无法独立完成基本的财务处理工作，且经考核评估确认不符合录用条件，公司可依法解除劳动合同。
严重违反用人单位规章制度
- 用人单位的规章制度需经民主程序制定，内容不得违反法律法规，并向员工进行公示或告知。若员工的行为构成严重违反规章制度，如多次旷工、泄露公司机密、打架斗殴等，用人单位有权解除劳动合同。
- 实例说明：公司规定员工一个月内累计旷工3天以上属严重违纪，员工若达到此标准，公司可依法开除。
严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害
- 员工在试用期内若因严重失职或营私舞弊行为给用人单位造成重大损害，且这种损害与员工的行为有直接因果关系，用人单位可以解除劳动合同。
- 实例说明：仓库管理员因疏忽导致货物丢失，给公司造成重大经济损失，公司可依法开除。
同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正
- 若员工在试用期内同时与其他用人单位建立劳动关系，并对完成本单位的工作任务产生严重影响，或经用人单位提出后拒不改正，用人单位有权解除劳动合同。
因法定情形致使劳动合同无效
- 若员工以欺诈、胁迫等手段使用人单位在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，导致合同无效，用人单位在试用期内可以解除劳动合同。
被依法追究刑事责任
- 员工在试用期内若被依法追究刑事责任，如被判处刑罚，用人单位可以解除劳动合同。
- 实例说明：试用期员工因盗窃被判刑，公司可据此开除。
二、开除员工的程序要求
事先通知工会
- 用人单位单方解除劳动合同前，应事先将理由通知工会。若用人单位尚未建立工会组织，也应通过适当方式向当地总工会或行业工会等进行告知。
书面通知员工
- 用人单位决定在试用期内开除员工时，必须向员工送达书面的解除劳动合同通知。通知中应明确解除劳动合同的原因、依据、具体日期及后续事宜。通知需确保员工能够收到，通常采用直接送达或邮寄送达（建议使用邮政特快专递）的方式。
三、违法开除的后果
若用人单位在试用期开除员工不符合上述法定条件或未履行法定程序，则属于违法解除劳动合同。此时，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同，或要求用人单位支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算（不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿）。
计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = (劳动者在本单位工作的年限 × 月工资) × 2（不满六个月的，月工资按半个月计算）
四、员工离职义务
试用期职工离职也需提前三日通知用人单位，并按照用人单位的要求和安排完成工作交接等相关手续。待交接完成后，用人单位应依法为劳动者办理离职手续并结算工资。
总结与建议：用人单位在试用期内开除员工必须严格遵守法律规定的条件和程序，否则将面临法律责任。同时，员工也应了解自己的权利和义务，在离职时履行相应的义务。若您在劳动工伤领域遇到任何法律问题，欢迎直接向我咨询，我将为您提供专业、全面的法律服务。