结论：信用卡欠款几千元，银行确实有权起诉，但是否会实际起诉取决于多种因素，包括欠款时间、还款态度、银行内部政策以及欠款金额等。

详细分析：

1. 银行的法律权利：

   • 从法律层面讲，只要持卡人未按照信用卡领用合约的约定按时还款，无论欠款金额大小，银行都具备通过法律途径追讨欠款的权利。这包括向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，要求持卡人偿还欠款本金、利息及可能产生的滞纳金等费用。

2. 银行起诉的实际考量：

   • 欠款时间：若欠款时间较短，银行通常会先采取非诉讼方式（如电话、短信催收）进行催款。然而，若持卡人长期拖欠不还，特别是连续数月甚至半年以上未还款，银行起诉的可能性会显著增加。
   • 还款态度：持卡人的还款态度对银行是否起诉具有重要影响。若持卡人在逾期后积极与银行沟通，表达还款意愿，并尝试制定还款计划，银行可能会给予宽限期或采取其他更灵活的催收措施，而暂不起诉。相反，若持卡人拒绝联系、逃避还款责任，银行则可能更倾向于采取法律手段。
   • 银行内部政策：不同银行对于信用卡欠款的处理政策和流程存在差异。有些银行可能对小额欠款也会积极采取起诉措施以维护信贷秩序；而有些银行则可能综合考虑起诉成本、客户关系等因素，对小额欠款采取更为宽容的态度，先进行一段时间的催收，当催收成本过高或效果不佳时才会选择起诉。
   • 欠款金额：虽然欠款金额不是决定银行是否起诉的唯一因素，但通常而言，欠款金额越大，银行起诉的可能性越高。不过，这并不意味着几千元的小额欠款就一定不会被起诉，特别是在持卡人长期拖欠且还款态度恶劣的情况下。

3. 法律后果与建议：

   • 一旦被银行起诉，持卡人不仅需要偿还欠款本金、利息和滞纳金，还可能承担诉讼费用和其他相关费用。同时，个人信用记录也将受到严重影响，对未来申请贷款、办理信用卡等金融业务造成障碍。
   • 因此，无论信用卡欠款金额大小，持卡人都应积极与银行沟通协商，尽快还清欠款或制定可行的还款计划。保持积极的还款态度和良好的沟通是避免法律风险和经济损失的关键。

特殊情况说明：

• 如果持卡人确实面临还款困难，可以尝试与银行协商分期还款或延期还款等方案。在协商过程中，持卡人应如实说明自己的经济状况和还款能力，争取银行的谅解和支持。
• 如果持卡人因特殊原因（如失业、疾病等）导致无法按时还款，可以提供相关证明材料给银行，以便银行在评估后给予更合理的还款安排。

总结与建议： 信用卡欠款几千元虽然不一定立即导致被起诉，但持卡人仍需高度重视并积极处理。建议持卡人尽快与银行沟通协商还款事宜，避免欠款金额进一步增加和信用记录受损。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。