核心结论：在赌博罪案件中，犯罪嫌疑人被羁押于看守所第16天时，案件可能处于公安机关继续侦查阶段或已移送检察院审查逮捕阶段，具体处理方式需结合案件进展判断。以下是分情况说明：

1. 若案件仍处于公安机关侦查阶段（未满30日）

根据《刑事诉讼法》第91条，公安机关对被拘留的犯罪嫌疑人，认为需要逮捕的，应在拘留后3日内提请检察院审查批准；特殊情况下可延长1-4日；对流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，可延长至30日。

• 第16天可能的情况：公安机关仍在收集证据（如赌资流向、参赌人员证言、现场物证等），或已提请延长拘留期限但尚未移送检察院。
  
• 处理方式：
  
  • 公安机关会继续讯问犯罪嫌疑人，核实赌博事实、组织者身份、赌资规模等关键情节；
    
  • 可能对涉案财物（如赌资、赌博工具）进行查封、扣押；
    
  • 若证据充分，公安机关会在拘留期限内（最长30日）提请检察院批准逮捕。

2. 若案件已移送检察院审查逮捕（第7-14日已移送）

检察院应在收到提请批准逮捕书后7日内作出决定。若第16天时检察院已受理，则可能处于以下状态：

• 检察院审查中：检察官会审阅案卷材料（如拘留证、证据清单、讯问笔录等），讯问犯罪嫌疑人，听取辩护律师意见（若律师已介入），综合判断是否构成赌博罪、社会危险性大小等。
  
• 处理结果：
  
  • 批准逮捕：若检察院认为事实清楚、证据充分，且犯罪嫌疑人可能判处徒刑以上刑罚，会作出批准逮捕决定，犯罪嫌疑人将继续羁押；
    
  • 不批准逮捕：若证据不足或情节轻微，检察院会作出不批准逮捕决定，公安机关需立即释放犯罪嫌疑人，但可能变更强制措施为取保候审或监视居住。

3. 犯罪嫌疑人及家属的应对建议

• 及时委托律师：律师可会见犯罪嫌疑人，了解案情，向公安机关或检察院提交法律意见（如申请取保候审、提出无罪或罪轻辩护意见），维护其合法权益。
  
• 配合调查：犯罪嫌疑人应如实陈述，避免翻供或隐瞒关键情节，否则可能影响量刑；同时可主张从轻情节（如初犯、偶犯、认罪认罚等）。
  
• 关注程序进展：家属可向公安机关或检察院了解案件阶段（如是否已提请逮捕、审查期限等），但需注意，非直系亲属可能无法直接获取信息。

提示：赌博罪的立案标准为“组织3人以上赌博，抽头渔利数额累计达到5000元以上，或赌资数额累计达到5万元以上，或参赌人数累计达到20人以上”。若情节轻微，可能不构成犯罪，仅按《治安管理处罚法》处理（如行政拘留、罚款）。具体需结合案情判断。

如有进一步疑问（如证据收集、量刑预测、辩护策略等），可直接向我咨询。