针对您提出的“工厂搬迁员工如何申请补偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，当工厂因搬迁导致员工通勤时间大幅增加，且这一变化对您的生产和生活产生了重大影响时，您有权考虑是否因此解除劳动合同并申请经济补偿。这一权益的依据主要来源于《劳动合同法》的相关规定。

一、经济补偿的法律依据

根据《劳动合同法》第四十六条，当劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的（其中包括用人单位未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件的情形），用人单位应当向劳动者支付经济补偿。在您的情况下，如果工厂搬迁导致通勤时间过长，且这一变化未得到您的同意，同时工厂也未提供合理的解决方案（如提供班车、交通补贴等），那么您可以认为工厂未按照劳动合同约定提供劳动条件，从而有权解除劳动合同并申请经济补偿。

二、经济补偿的计算方式

经济补偿的计算依据《劳动合同法》第四十七条，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

三、申请补偿的具体步骤

1. 与工厂协商：

   • 首先，您可以尝试与工厂进行协商，表达您对搬迁后通勤时间过长的担忧，并询问工厂是否愿意提供合理的解决方案（如提供班车、交通补贴等）。
   • 如果工厂愿意提供解决方案，且您认为这些方案能够接受，那么您可以继续留在工厂工作。

2. 提出解除劳动合同：

   • 如果工厂不愿意提供解决方案，或者提供的方案您无法接受，那么您可以向工厂提出解除劳动合同。
   • 在提出解除劳动合同时，建议您以书面形式（如邮件、信件等）向工厂发送《被迫离职通知书》，明确说明解除劳动合同的原因（即工厂搬迁导致通勤时间过长，且未提供合理解决方案）。

3. 申请劳动仲裁：

   • 如果工厂不同意支付经济补偿，或者双方对经济补偿的金额存在争议，那么您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
   • 在申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据（如劳动合同、工资单、搬迁通知书、被迫离职通知书等）来支持您的主张。

4. 参与仲裁过程：

   • 劳动仲裁委员会会安排双方进行调解或开庭审理。在调解或审理过程中，您需要充分陈述自己的主张和理由，并提供相关证据来支持。
   • 如果调解成功，双方可以签订调解协议；如果调解不成，劳动仲裁委员会会作出裁决。

5. 执行裁决结果：

   • 如果工厂同意执行裁决结果，那么您将获得相应的经济补偿。
   • 如果工厂不同意执行裁决结果，您可以向人民法院申请强制执行。

四、注意事项

• 在整个过程中，建议您保持冷静和理性，避免与工厂发生不必要的冲突。
• 同时，建议您及时咨询专业的劳动法律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。