核心结论：法院警车执行公务时发生交通事故且交警划定司机全责，需分情况处理，主要涉及责任认定复核、单位内部追责、保险理赔及民事赔偿协调等环节。以下是具体分析：

1. 对交通事故责任认定的复核与救济

根据《道路交通事故处理程序规定》第七十一条，若对交警划定的全责认定有异议，可在收到认定书3日内向上一级交警部门申请复核。复核需提交书面申请，重点说明责任划分依据不足（如对方存在过错未被认定、警车执行紧急任务时享有优先通行权等）。若复核维持原结论，责任认定将作为后续处理的核心依据。

2. 单位内部追责与行政处理

• 司机责任：若事故因司机违规操作（如超速、未避让行人等）导致，法院可能依据《公务员法》或单位内部规定对其给予警告、记过等处分；若构成犯罪（如交通肇事罪），将依法追究刑事责任。
• 单位责任：根据《民法典》第一千二百零八条，法院作为警车所有者需承担民事赔偿责任，但可向有过错的司机追偿。若单位未尽管理职责（如车辆维护不当），也可能承担部分责任。

3. 保险理赔与民事赔偿协调

• 保险理赔：警车通常投保交强险及商业险，保险公司需在责任范围内赔偿对方损失（如医疗费、车辆维修费等）。若司机全责，保险公司可能主张免赔或减赔（如未年检、酒驾等情形）。
• 民事赔偿协调：若对方提出额外赔偿（如误工费、精神损害抚慰金），法院需根据《民法典》侵权责任编核实合理性。若赔偿超出保险范围，法院可能从单位经费中支付，后续再向司机追偿。

4. 特殊情形处理

• 执行紧急任务时的优先权：若警车在执行紧急公务（如追捕罪犯、急救送医）时鸣笛、亮灯通行，根据《道路交通安全法》第五十三条，其他车辆和行人应让行。若对方未让行导致事故，交警可能重新认定责任。
• 对方过错未被认定：若事故中对方存在过错（如闯红灯、逆行），但交警未纳入责任认定，需通过复核或诉讼主张对方分担责任。

行动建议：

1. 立即收集证据（如行车记录仪、现场照片、证人联系方式）；
2. 3日内申请责任认定复核，重点论证对方过错或警车优先权；
3. 同步向单位报告事故，配合内部调查；
4. 联系保险公司报案，协商理赔事宜；
5. 若对方提起诉讼，积极应诉并主张责任分担。

如有进一步细节（如事故具体经过、对方损失情况等），可随时补充说明，我会为您细化分析。