结论：餐饮店关店后，客户充值赠送的金额不退是否违法，需根据具体情况判断，但一般情况下，商家应退还充值赠送金额，否则可能构成违约或不当得利。以下从不同角度详细分析：
一、合同关系角度
充值赠送行为的性质：
- 客户在餐饮店充值时，双方即形成了合同关系。充值赠送金额通常被视为商家为了吸引客户消费而提供的一种优惠或奖励，属于合同的一部分。
- 这种优惠或奖励可能以充值赠送、积分兑换、折扣等形式体现，但无论形式如何，其本质都是商家对客户的一种承诺或义务。
关店后的合同履行：
- 当餐饮店关店时，其无法继续提供服务，导致合同无法继续履行。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同一方因不可抗力或对方违约等原因无法履行合同的，应承担相应的违约责任。在此情况下，商家应退还客户未消费的充值金额及赠送金额（若赠送金额已明确为合同一部分且未消费）。
二、消费者权益保护角度
消费者的知情权：
- 商家在充值时，应明确告知客户充值赠送金额的使用条件、有效期等关键信息。
- 若商家未履行告知义务，导致客户在关店后无法了解充值赠送金额的处理方式，商家可能构成侵犯消费者知情权。
消费者的公平交易权：
- 消费者在充值时，有权获得公平、合理的交易条件。
- 若商家在关店后拒绝退还充值赠送金额，且未提供合理的解决方案（如转店消费、兑换其他商品等），则可能构成侵犯消费者公平交易权。
三、不当得利角度
不当得利的定义：
- 不当得利是指一方在没有合法依据的情况下获得利益，而另一方因此遭受损失。
关店后不退赠送金额的性质：
- 若商家在关店后拒绝退还客户未消费的充值赠送金额，且该金额已明确为合同的一部分或商家未履行告知义务，则商家可能构成不当得利。
- 在此情况下，客户有权要求商家退还充值赠送金额，以维护自己的合法权益。
四、实际操作建议
与客户协商：
- 商家在关店前，应主动与客户沟通，说明充值赠送金额的处理方式，并尽量提供合理的解决方案（如转店消费、兑换其他商品等）。
- 若客户同意商家的解决方案，则双方可签订书面协议，明确各自的权利和义务。
退还充值赠送金额：
- 若商家无法提供合理的解决方案或客户不同意商家的方案，则商家应退还客户未消费的充值赠送金额。
- 退还时，商家应确保退款金额的准确性，并保留相关凭证以备查证。
法律途径：
- 若商家拒绝退还充值赠送金额且协商无果，客户可通过法律途径维护自己的合法权益。
- 客户可向当地消费者协会投诉或向人民法院提起诉讼，要求商家退还充值赠送金额并承担相应的法律责任。
总结：餐饮店关店后，客户充值赠送的金额不退是否违法需根据具体情况判断。但无论如何，商家都应尊重客户的合法权益，积极与客户沟通并提供合理的解决方案。若商家拒绝退还充值赠送金额且协商无果，客户可通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。