便利店销售假烟将面临行政处罚，情节严重的可能构成犯罪并承担刑事责任，具体处罚情况如下：

1. 行政处罚：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国烟草专卖法》第三十二条及《中华人民共和国烟草专卖法实施条例》第五十七条，销售非法生产的烟草专卖品（包括假烟）的行为，由烟草专卖行政主管部门责令停止销售，没收违法所得，并处以违法销售总额20%以上50%以下的罚款。
   • 处罚程序：烟草专卖行政主管部门在查处过程中，会依法对涉案便利店进行现场检查、调查取证，并根据违法情节的严重程度作出相应的行政处罚决定。

2. 刑事责任：

   • 构成犯罪的条件：如果便利店销售假烟的行为情节严重，如销售金额较大、多次销售、造成严重后果等，可能构成《中华人民共和国刑法》第一百四十条规定的生产、销售伪劣产品罪。
   • 刑事处罚：根据销售金额的不同，可能面临二年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金；销售金额巨大的，刑罚将更为严厉，最高可处无期徒刑，并处没收财产。

3. 其他法律后果：

   • 信誉损失：销售假烟的行为会严重损害便利店的商业信誉，可能导致顾客流失、品牌形象受损等后果。
   • 民事赔偿：如果因销售假烟给消费者造成损害，便利店还可能面临民事赔偿的责任，包括赔偿消费者的损失、支付违约金等。

建议：便利店应严格遵守相关法律法规，确保所售商品为合法生产的正品，避免销售假烟等违法行为。如果发现有人销售假烟，应及时向烟草专卖行政主管部门或公安机关举报。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。