结论：在此情况下，健身房是否有责任需根据具体情况来判断，主要看健身房是否尽到了安全保障义务。以下从不同角度进行分析：
一、安全保障义务的法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。健身房作为体育场馆的一种，同样适用这一规定。
二、健身房可能承担责任的情形
未提供必要的安全设施或警示：
- 如果健身房内没有提供足够的通风设施，导致空气污浊，或者地面湿滑未设置警示标志，这些都可能被视为未尽到安全保障义务。
- 在此情况下，如果顾客因健身房的这些疏忽而呕吐，并进而在出门上车后发生意外，健身房可能需要承担一定的责任。
未及时提供救助：
- 如果顾客在健身房内呕吐后，健身房工作人员未及时上前询问情况、提供必要的帮助（如提供清水、联系急救等），也可能被视为未尽到安全保障义务。
- 若这种疏忽与顾客后续的意外有直接或间接的因果关系，健身房同样可能需要承担责任。
三、健身房可能不承担责任的情形
顾客自身健康原因：
- 如果顾客呕吐是由于自身健康原因（如突发疾病、食物中毒等）导致的，且健身房已经尽到了合理的安全保障义务（如提供了良好的通风环境、保持了地面干燥等），那么健身房可能不需要承担责任。
意外发生在健身房外：
- 如果顾客呕吐后离开健身房，在出门上车的过程中或之后发生意外，且这一意外与健身房的设施或管理无直接关联，那么健身房通常不需要承担责任。但这一判断还需考虑健身房是否在顾客离开时提供了必要的帮助或警示。
四、建议与后续行动
收集证据：
- 如果家属认为健身房应承担责任，应尽快收集相关证据，如健身房的监控录像、顾客呕吐时的照片或视频、医疗记录等。
协商或诉讼：
- 家属可以与健身房进行协商，寻求赔偿；如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，建议家属咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。虽然我不能直接提供联系方式，但你可以直接向我咨询相关法律问题。
总结：健身房是否有责任需根据具体情况来判断，主要看其是否尽到了安全保障义务。如果家属认为健身房应承担责任，应尽快收集证据并考虑通过法律途径解决纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。