结论：哺乳期被拘留不予执行后，是否还能追究法律责任，取决于拘留的类型（行政拘留或刑事拘留）以及案件的具体情况。一般来说，哺乳期不执行拘留并不意味着可以完全逃避法律责任。
一、行政拘留的情况
一般原则：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十一条的规定，对于怀孕或者哺乳自己不满一周岁婴儿的妇女，应当给予行政拘留处罚的，不执行行政拘留处罚。这意味着在哺乳期内，虽然处罚决定作出，但实际并不执行拘留。
后续处理：
- 哺乳期结束后，如果当初决定拘留的情形没有重大变化，且没有其他法定不执行的事由（如新的从轻、减轻情形），理论上原拘留处罚决定仍然有效。但公安机关通常会考虑实际情况，不会轻易再执行拘留，尤其是如果决定作出后过了很长时间，比如超过了治安案件的追溯期限（一般为6个月），且在此期间没有其他相关违法犯罪行为，那么通常就不再执行拘留。
- 然而，这并不意味着哺乳期妇女可以完全逃避法律责任。在其个人户籍资料中仍会留有违法记录，这可能对未来的某些法律事务（如出国、就业等）产生一定影响。
二、刑事拘留的情况
处理方式：
- 哺乳期内的妇女一般不采取刑事拘留措施，而是可以办理取保候审或者监外执行。这是基于《看守所条例》等相关规定，哺乳期妇女可以免于被收押。
后续处理：
- 如果哺乳期妇女涉及刑事案件，其后续处理将依据案件的具体情况、后续侦查、审查起诉和审判结果来确定。
- 在哺乳期结束后，如果案件证据充足、犯罪情节严重，且不符合取保候审或不起诉的条件，那么妇女仍有可能被采取刑事拘留措施，或者如果之前已经取保候审或监视居住，哺乳期结束后可能变更强制措施予以逮捕。
- 值得注意的是，即使哺乳期妇女在哺乳期内未被实际执行拘留或逮捕，但如果其行为构成犯罪，依然需要接受相应的刑事处罚。只不过在实际执行时，会因其哺乳期的特殊情况而采取一些特殊措施，如监外执行等。
三、法律建议
遵守法律法规：
- 哺乳期妇女应当严格遵守法律法规，不要触碰法律的底线。任何违法行为都可能受到法律的制裁，哺乳期并不是逃避法律责任的借口。
积极配合司法机关：
- 如果涉及法律纠纷或案件，哺乳期妇女应当积极配合司法机关的调查和处理工作。如实陈述事实、提供证据材料，并按照要求参加庭审等活动。
寻求法律帮助：
- 如果对法律程序或相关法律规定有疑问或不解之处，可以及时向我咨询。作为专业律师，我可以提供详细的法律解释和专业的法律建议，帮助哺乳期妇女更好地维护自己的合法权益。
总结：哺乳期被拘留不予执行并不意味着可以完全逃避法律责任。无论是行政拘留还是刑事拘留，哺乳期妇女都需要根据案件的具体情况和法律规定来承担相应的法律责任。因此，建议哺乳期妇女严格遵守法律法规，积极配合司法机关的工作，并在必要时寻求专业的法律帮助。