结论：在第三人签订的新债清偿未履行的情况下，原名义债务人承担责任后，一般可以向第三人追偿，但具体能否追偿成功需视情况而定。以下从不同角度进行分析：
一、法律关系分析
新债清偿的性质：
- 新债清偿通常被视为一种债务承担方式，即第三人与原债务人约定，由第三人承担原债务人的债务，并向债权人履行。这种约定在第三人与原债务人之间形成了一种新的债权债务关系。
原债务人的地位：
- 在新债清偿未履行的情况下，原债务人并未完全脱离债务关系。如果第三人未履行新债，债权人仍有权要求原债务人履行原债务。原债务人履行后，即取得了对第三人的追偿权。
二、追偿权的法律依据
合同相对性原则：
- 根据合同相对性原则，第三人与原债务人之间的新债清偿协议对债权人具有约束力，但原债务人与第三人之间的内部关系（如追偿权）则需依据他们之间的协议或法律规定来确定。
不当得利或无因管理：
- 如果原债务人因第三人的行为（如未履行新债）而遭受损失，且第三人因此获得利益，原债务人可以基于不当得利或无因管理的原则向第三人追偿。但这种情况下的追偿权需满足一定的法律要件。
代位权或撤销权（虽不直接相关，但提供法律思路）：
- 在某些情况下，如果第三人的行为损害了债权人的利益，债权人可能享有代位权或撤销权。虽然这主要涉及债权人与第三人之间的关系，但原债务人在承担责任后，也可能间接地通过这些权利来维护自己的利益（如通过债权人行使代位权来追偿）。不过，这并非直接的原债务人对第三人的追偿权。
三、具体追偿情况分析
第三人明确表示愿意承担债务：
- 如果第三人明确表示愿意承担原债务人的债务，并签订了相关协议，但未履行，原债务人在承担责任后，可以依据该协议向第三人追偿。
第三人未明确表示愿意承担债务，但实际履行了部分债务：
- 在这种情况下，如果第三人部分履行了债务，但未完全履行，原债务人承担剩余责任后，也可以向第三人追偿其未履行的部分。但追偿的金额和范围可能需要根据实际情况和双方协议来确定。
第三人完全未履行债务，且无明确协议：
- 如果第三人完全未履行债务，且与原债务人之间无明确协议约定追偿权，原债务人仍可以尝试基于不当得利或无因管理的原则向第三人追偿。但这种情况下，追偿的成功率可能较低，因为需要证明第三人获得了不当利益或原债务人进行了无因管理。
四、建议与注意事项
签订书面协议：
- 在涉及新债清偿的情况下，建议原债务人与第三人签订书面协议，明确双方的权利义务关系，包括追偿权的约定。这样可以在发生纠纷时提供有力的证据支持。
保留相关证据：
- 原债务人在承担责任后，应保留好相关证据（如履行债务的凭证、与第三人的沟通记录等），以便在追偿时提供证明。
及时咨询专业律师：
- 由于追偿权的问题可能涉及复杂的法律关系和证据认定，建议原债务人在承担责任后及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
综上所述，原名义债务人在承担责任后，一般可以向第三人追偿，但具体能否追偿成功需视情况而定。如果涉及复杂的法律关系或证据认定问题，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。