结论：欠信用卡三千块钱存在被起诉的可能性，但具体是否会被起诉，取决于多种因素的综合考量。

详细分析：

1. 银行的起诉权利：

   • 从法律层面讲，银行作为债权人，在持卡人未能按信用卡领用合同的约定按时偿还欠款时，即构成违约。银行有权通过法律途径追讨欠款，无论欠款金额大小，理论上均可向法院提起诉讼。因此，欠信用卡三千块钱，银行是有权起诉的。

2. 实际起诉的考量因素：

   • 持卡人的还款态度：若持卡人在欠款后保持积极沟通，主动向银行说明经济状况并表达明确的还款意愿，同时付诸实际行动（如每月部分还款），银行通常倾向于通过协商而非诉讼方式解决欠款问题。
   • 欠款时间的长短：在欠款初期，银行往往会通过电话、短信等温和方式进行催收。但若欠款持续数月甚至更长时间，且经多次有效催收仍未得到偿还，银行起诉的可能性会显著增加。
   • 银行的内部政策：不同银行对信用卡欠款的处理方式和策略各不相同。有的银行在处理小额欠款时可能更倾向于协商解决，而有的银行则可能在欠款管理上更为严格，即便对于小额长期拖欠的款项也会采取法律手段。

3. 法律后果与建议：

   • 法律后果：若持卡人被银行起诉且败诉，将面临承担诉讼费用、逾期利息、滞纳金等经济负担，甚至可能被法院强制执行。此外，不良信用记录将对个人未来贷款、信用卡申请等金融活动产生负面影响。
   • 建议：因此，建议持卡人务必重视信用卡还款问题，尽量按时足额还款。如遇还款困难，应及时与银行联系，了解欠款情况，并协商制定可行的还款计划。通过与银行积极沟通，不仅可以避免法律纠纷，还能保护个人信用记录不受损害。

特殊情况说明：

• 即便欠款金额不大，如三千元，但如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，并且经发卡银行催收后仍不归还，也有可能构成信用卡诈骗罪，面临刑事责任。不过，这种情况在实际操作中较为少见，通常涉及更大金额的恶意透支。

总结： 欠信用卡三千块钱虽然不一定会被银行立即起诉，但逾期不还的后果仍然十分严重。为了避免不必要的麻烦和损失，建议持卡人务必按时还款，并在遇到还款困难时积极与银行沟通寻求解决方案。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。