行政机关在调查过程中，当事人申请延期调查的合法理由通常包括以下几类情况：

1. 确保调查程序顺利进行的相关原因

   • 调查人员或关键参与人不足：如果调查过程中，关键调查人员或参与人因故无法出席，导致调查无法按原计划进行，当事人可以申请延期。例如，调查人员因突发公务、疾病或其他紧急情况无法参与调查。
   • 因申请回避导致调查中断：当事人或其代理人提出回避申请，且该申请符合法定条件时，行政机关应当决定延期调查。回避申请通常涉及调查人员可能与案件存在利害关系，延期调查有助于确保案件的公正处理。

2. 不可抗力及突发情况

   • 自然灾害：如地震、洪水、台风等自然灾害导致交通中断、通讯受阻，当事人无法按照预定时间参与调查时，可以申请延期。例如，某地区遭遇洪水，道路被淹，当事人无法前往调查地点。
   • 突发公共卫生事件：如疫情爆发，政府采取严格防控措施，包括封控管理、限制人员流动等，导致当事人无法参与调查。在这种情况下，当事人可以基于不可抗力因素申请延期。

3. 当事人自身原因

   • 身体原因：当事人突发严重疾病或意外伤害导致行动不便，如心脏病发作、急性阑尾炎需紧急住院治疗，或车祸导致骨折等，无法亲自参与调查时，可以申请延期。
   • 重要事务冲突：包括司法事务冲突，如同时涉及其他司法程序，时间上发生冲突；以及重大个人事务，如家庭紧急情况、重要商务活动等，这些事务对当事人来说至关重要，错过可能带来重大损失。

4. 证据收集问题

   • 关键证据获取困难：当事人发现对案件有重大影响的关键证据，但由于客观原因无法在调查前取得，如需要向外地的第三方机构调取业务数据等。此时，当事人可以申请延期调查，以便有更多时间来收集和整理这些证据。
   • 需要通知新的证人或调取新的证据：在调查过程中，如果发现新的证人或需要调取新的证据，且这些证据对案件的定性或处理结果有重大影响，当事人可以申请延期调查，以便更全面地收集证据。

在申请延期调查时，当事人应详细说明延期的必要性和具体原因，并尽可能提供相关证明材料。行政机关在收到申请后，应依法进行审查，并综合考虑调查程序的公正性、合法性和有效性，以及当事人的合法权益，作出合理的决定。

若您面临行政机关调查并考虑申请延期，建议您根据实际情况准备充分的理由和证明材料，并及时向行政机关提出申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。