结论：商标侵权中，若侵权行为构成假冒注册商标罪，权利人确实可以提起刑事诉讼，并且在刑事诉讼过程中或之后，仍有权提起民事诉讼要求赔偿。以下是对此问题的详细分析：
一、刑事诉讼的提起
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百一十三条，未经注册商标所有人许可，在同一种商品、服务上使用与其注册商标相同的商标，且情节严重的，构成假冒注册商标罪。权利人或相关利害关系人可以向公安机关报案，由公安机关立案侦查，并最终由人民检察院提起公诉。
“情节严重”的标准：
- 非法经营额达五万元以上、违法所得三万元以上；
- 假冒两种以上注册商标，非法经营额三万元以上、违法所得两万元以上等。
二、民事诉讼的提起
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十五条，故意侵害他人知识产权，情节严重的，被侵权人有权请求相应的惩罚性赔偿。假冒注册商标的行为显然属于故意侵害他人知识产权的范畴。
- 根据《中华人民共和国商标法》第六十条，商标注册人或利害关系人在面对侵犯注册商标专用权行为时，有权向人民法院起诉或请求工商行政管理部门处理。
索赔范围与计算原则：
- 直接损失：包括因侵权行为导致的销量减少、利润损失以及为制止侵权行为所支付的合理开支（如律师费、诉讼费、公证费、调查取证费等）。
- 间接损失：涉及商标市场声誉的降低、未来许可使用费用收入的减少等。虽然间接损失的计算和举证相对复杂，但只要有充分证据证明损失与侵权行为之间的因果关系，同样可以要求赔偿。
- 赔偿数额确定原则：
- 首选按照权利人因被侵权所受到的实际损失来确定；
- 若实际损失难以确定，则按侵权人因侵权所获得的利益来计算；
- 当上述两者均难以确定时，可参照该商标的许可使用费的倍数来合理确定；
- 对于恶意侵犯、情节严重的行为，赔偿数额可在上述方法确定的基础上增加一倍至三倍，体现惩罚性。
索赔流程：
- 收集证据：这是索赔的关键步骤。需收集能证明侵权行为存在、侵权所造成的损失及两者间因果关系的证据，如购买侵权产品的凭证、实物、销售数据对比等。
- 确定索赔金额：基于收集的证据和赔偿数额确定原则，合理计算出索赔金额。
- 选择索赔途径：首先尝试与侵权人协商解决；若协商无果，则可向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。
三、刑事诉讼与民事诉讼的关系
- 并行不悖：刑事诉讼和民事诉讼是两种独立的法律程序，权利人可以同时或先后提起。刑事诉讼旨在追究侵权人的刑事责任，而民事诉讼则旨在赔偿权利人的经济损失。
- 证据共享：在刑事诉讼过程中收集的证据，如侵权商品、销售记录等，通常也可以在民事诉讼中使用，这有助于权利人更高效地维护自己的权益。
四、建议
- 及时报案：一旦发现商标被假冒，权利人应立即向公安机关报案，以便及时启动刑事诉讼程序。
- 收集证据：在报案的同时，权利人应积极收集与侵权行为相关的证据，为后续的民事诉讼做好准备。
- 咨询专业意见：在处理此类复杂案件时，建议权利人直接向我咨询，以便更好地制定诉讼策略和维护自身权益。
综上所述，商标侵权中，若侵权行为构成假冒注册商标罪，权利人不仅可以提起刑事诉讼追究侵权人的刑事责任，还可以提起民事诉讼要求赔偿经济损失。