食品类的虚假宣传案件，其监管责任并不单一归属于食药监部门，而是根据具体情况，可能涉及多个监管部门的职责范围。以下是对此问题的详细分析：

1. 食药监部门的职责：

   • 食药监部门（现多已整合为市场监管部门的一部分）主要负责食品安全的监管，包括食品的生产、加工、流通等环节的监督。
   • 在食品虚假宣传案件中，如果虚假宣传的内容直接涉及食品的安全性、功效、成分等关键信息，且这些信息可能误导消费者对食品本身产生错误认识，那么食药监部门有权进行监管和处罚。

2. 市场监管部门的职责：

   • 市场监管部门（包括原工商行政管理部门）负责市场秩序的维护，包括广告监管、反不正当竞争等。
   • 食品虚假宣传往往也构成广告违法行为或不正当竞争行为，因此市场监管部门同样有权对此类案件进行调查和处理。特别是当虚假宣传内容主要涉及食品的促销、品牌宣传等非安全性信息时，市场监管部门的监管作用更为突出。

3. 其他相关部门的职责：

   • 在某些特定情况下，如虚假宣传涉及跨境贸易、网络销售等复杂领域，可能还需要海关、网信等部门的协同监管。
   • 如果虚假宣传行为构成犯罪（如诈骗罪、生产销售伪劣产品罪等），则公安机关将依法介入调查和处理。

4. 法律建议：

   • 对于消费者而言，如果发现食品存在虚假宣传行为，可以向当地的市场监管部门或食药监部门（根据具体宣传内容选择）进行投诉和举报。
   • 对于商家而言，应严格遵守相关法律法规，确保广告宣传内容的真实性和合法性，避免因虚假宣传而面临法律处罚和声誉损失。

总结来说，食品类的虚假宣传案件的监管责任并不完全归属于食药监部门，而是根据虚假宣传的具体内容和性质，可能涉及食药监部门、市场监管部门以及其他相关部门的共同监管。因此，在处理此类案件时，需要综合考虑多个部门的职责和权限，确保案件得到妥善处理。如果您在食品虚假宣传方面遇到法律问题，可以直接向我咨询。