在刑事案件中，逮捕后家属若希望表达从轻或减轻处罚的意愿，应向办案机关（通常是公安机关、检察院或法院）提交书面申请，具体可称为《从轻/减轻处罚申请书》或《取保候审/量刑建议申请书》。 以下是详细说明和撰写建议：

一、申请提交的部门

1. 侦查阶段（逮捕后至移送检察院审查起诉前）
   向公安机关提交申请，说明犯罪嫌疑人具有从轻、减轻情节（如自首、立功、认罪认罚、退赃退赔等），请求变更强制措施（如取保候审）或建议从宽处理。

2. 审查起诉阶段（案件移送检察院后）
   向检察院提交申请，可附在《羁押必要性审查申请书》或《量刑建议意见书》中，重点阐述犯罪嫌疑人符合《刑法》或《刑事诉讼法》规定的从宽情节，建议检察院作出不起诉决定或提出从轻量刑建议。

3. 审判阶段（法院审理期间）
   向法院提交《辩护意见书》或《量刑建议书》，结合庭审情况，进一步强调从轻、减轻处罚的法律依据和事实理由。

二、申请书的核心内容与撰写要点

申请书需逻辑清晰、事实充分、法律依据明确，通常包括以下部分：

1. 标题与称谓

   • 标题：如《关于××（犯罪嫌疑人姓名）从轻/减轻处罚的申请书》。
     
   • 称谓：根据提交对象写“××公安局”“××人民检察院”或“××人民法院”。

2. 申请人信息
   写明家属身份（如配偶、父母、子女等）、联系方式及与犯罪嫌疑人的关系。

3. 案件基本情况
   简要说明犯罪嫌疑人被逮捕的罪名、时间、案件阶段（如侦查阶段），避免冗长。

4. 从轻/减轻处罚的法定理由
   结合《刑法》和司法解释，列举具体情节，例如：

   • 自首：犯罪后自动投案并如实供述；
     
   • 立功：揭发他人犯罪或提供重要线索；
     
   • 认罪认罚：自愿认罪并签署《认罪认罚具结书》；
     
   • 退赃退赔：积极赔偿被害人损失；
     
   • 初犯、偶犯：无前科，主观恶性小；
     
   • 社会危害性低：如犯罪情节轻微、未造成严重后果等。

5. 事实与证据支持
   附相关证明材料（如退赃凭证、立功材料、病历证明等），增强说服力。

6. 法律依据
   引用《刑法》第67条（自首）、第68条（立功）、《刑事诉讼法》第15条（认罪认罚从宽）等条款。

7. 请求事项
   明确提出申请目的，例如：

   • 请求变更强制措施为取保候审；
     
   • 请求检察院作出不起诉决定；
     
   • 请求法院从轻、减轻处罚或适用缓刑。

8. 结尾与署名
   写明“此致 敬礼”，申请人签名、日期，并附联系方式。

三、注意事项

1. 及时提交：在案件不同阶段尽早提交申请，避免错过关键节点。
   
2. 专业协助：若情节复杂或证据不足，建议委托律师协助撰写，确保法律适用准确。
   
3. 态度诚恳：避免夸大或虚构情节，以事实和法律为依据。
   

示例框架（供参考）：

关于××从轻处罚的申请书
××人民检察院：
申请人××（系犯罪嫌疑人××之××），现就××涉嫌××罪一案，申请对其从轻处罚，理由如下：

1. ××具有自首情节（附投案证明）；
   
2. ××已全额退赔被害人损失（附退赃凭证）；
   
3. ××系初犯，主观恶性小，社会危害性低……
   根据《刑法》第××条、《刑事诉讼法》第××条，恳请贵院依法从宽处理。
   此致
   ××人民检察院
   申请人：××
   ××年××月××日
   

如有具体案件细节或需要进一步帮助，可直接向我咨询，我会结合实际情况提供专业建议。