结论前置：员工提出离职后，公司因业务繁忙协调晚两个月办理离职手续且到期不让走，这种做法是不合法的，员工有权按照法律规定维护自身权益。以下从不同角度为你详细分析：

从法律规定角度

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，只要员工按照法定程序提前通知了公司，到期后就有权解除劳动合同，公司无权强行留人。

从员工应对措施角度

1. 与公司再次沟通：员工可以先尝试与公司进行友好协商，明确告知公司自己已经按照法律规定提前通知了离职，到期后有权离开，希望公司能够遵守法律规定，及时办理离职手续。在沟通时，要注意保留好相关的沟通记录，比如聊天记录、邮件等，以备后续可能出现的纠纷。
2. 向劳动监察部门投诉：如果与公司协商无果，员工可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，会责令公司改正违法行为，为员工办理离职手续。员工需要准备好相关的证据材料，如劳动合同、离职申请、沟通记录等，以便劳动监察部门进行调查。
3. 申请劳动仲裁：员工还可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁申请中，员工可以要求公司确认双方的劳动关系已经解除，并要求公司办理离职手续、支付拖欠的工资（如果有）、经济补偿（如果符合法定条件）等。劳动仲裁是一种较为正式的解决劳动纠纷的方式，仲裁裁决具有法律效力，如果公司不履行仲裁裁决，员工可以向法院申请强制执行。

从公司可能面临的后果角度

如果公司坚持不让员工离职，可能会面临一系列的法律后果。除了被劳动监察部门责令改正外，如果员工因此遭受了损失，比如错过了其他工作机会、产生了额外的费用等，公司可能需要承担赔偿责任。此外，公司的违法行为还可能会影响其社会形象和信誉，对公司的长期发展产生不利影响。

建议：在整个过程中，员工要保持冷静和理智，依法维护自己的权益。如果遇到复杂的法律问题或不确定如何处理，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细、更专业的法律建议。