结论：针对虚假宣传销售产品的行为，若该行为构成犯罪，警察（即公安机关）会依法进行查处；若该行为尚未构成犯罪，则一般由市场监督管理部门进行监管和处罚。

详细分析：

1. 构成犯罪的情况：

   • 当虚假宣传销售产品的行为达到一定程度，触犯了刑法中的相关罪名时，公安机关便会依法介入侦查。例如，若销售者通过虚假宣传销售伪劣产品，且销售金额达到五万元以上，可能构成生产、销售伪劣产品罪。此时，公安机关将拥有广泛的侦查权力，包括调查取证、询问证人及嫌疑人、查封和扣押涉案物品等，以查明案件事实，收集犯罪证据。
   • 除了生产、销售伪劣产品罪外，若虚假宣传销售的产品涉及假药、劣药等，还可能构成生产、销售假药罪或生产、销售劣药罪等，同样会受到公安机关的严厉查处。

2. 未构成犯罪的情况：

   • 若虚假宣传销售产品的行为尚未构成犯罪，但违反了市场监管领域的相关法律法规，如《中华人民共和国反不正当竞争法》等，则一般由市场监督管理部门进行监管和处罚。市场监督管理部门将依法对销售者进行行政处罚，如罚款、没收违法所得、责令停止违法行为等。

法律建议：

• 对于消费者：若遇到虚假宣传销售产品的行为，应及时向市场监督管理部门或公安机关报案，并提供相关证据，以便相关部门能够及时介入调查，维护自身合法权益。
• 对于销售者：应严格遵守相关法律法规，诚信经营，避免进行虚假宣传等违法行为。否则，一旦触犯法律，将面临严厉的刑事制裁或行政处罚。

可能的法律后果：

• 若虚假宣传销售产品的行为构成犯罪，销售者可能面临有期徒刑、罚金等刑罚。
• 若该行为未构成犯罪，但违反了市场监管领域的相关法律法规，销售者可能面临罚款、没收违法所得、责令停止违法行为等行政处罚。

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