变更抚养权在法律上对应的案由通常是“变更抚养关系纠纷”。这一案由主要涉及到离婚后，父母对未成年子女的抚养权发生变更的情况。
一、变更抚养关系纠纷的定义
变更抚养关系纠纷，指的是在离婚后，由于各种原因（如直接抚养方无力继续抚养、不尽抚养义务、虐待子女，或者子女已满一定年龄并愿意随另一方生活等），父母一方或双方要求变更原定的子女抚养关系而引发的纠纷。
二、变更抚养关系纠纷的法律依据
《中华人民共和国民法典》：该法典明确规定了离婚后父母对子女的抚养、教育、保护的权利和义务，并指出了在特定情况下可以变更抚养关系。例如，当与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女时，或者与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为时，父母一方可以要求变更子女抚养关系。
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释(一)》：该解释进一步细化了变更抚养关系的具体情形，如已满八周岁的子女愿随另一方生活且该方又有抚养能力时，或者其他正当理由需要变更时，人民法院应予支持。
三、变更抚养关系纠纷的解决途径
协商：父母双方可以先尝试通过协商来达成变更抚养关系的协议。如果协商一致，可以签订变更抚养权的协议，并明确双方的权利和义务。
诉讼：如果协商不成，争取孩子抚养权的一方可以向法院起诉要求变更子女的抚养权。在诉讼过程中，提出变更子女抚养权的一方需要承担相应的举证责任，证明对方存在不利于子女成长或不尽抚养义务等情形，以及自己抚养更有利于子女成长的情况。
四、变更抚养关系纠纷的管辖法院
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，变更抚养权案件的管辖法院应该为被监护人住所地人民法院。这意味着，如果父母双方就变更抚养关系发生纠纷，应该向子女住所地的人民法院提起诉讼。
五、注意事项
在变更抚养关系的过程中，父母双方应该从孩子的身心健康角度出发去考虑和解决问题，努力创造更有利于孩子生活的经济基础和生活环境。同时，应该尊重孩子的意愿和感受，尽可能减轻因双方离婚给孩子带来的负面影响。
综上所述，变更抚养权在法律上对应的案由是“变更抚养关系纠纷”，其解决途径包括协商和诉讼两种方式。在处理此类纠纷时，父母双方应该遵循法律规定，从孩子的利益出发，寻求最合理的解决方案。