结论：欠招商银行2千多元，招商银行是有权起诉的，但具体是否会起诉需视多种因素而定。以下从法律角度进行详细分析：

一、法律基础

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，债权人（如招商银行）有权向人民法院提起诉讼，要求债务人（如欠款人）履行还款义务。这意味着，从法律层面讲，招商银行作为债权人，对于任何金额的欠款，只要符合起诉条件，都有权向法院提起诉讼。

二、起诉条件

虽然招商银行有权起诉，但实际是否会起诉还需考虑以下因素：

1. 欠款金额：虽然2千多元的欠款金额不大，但法律并未规定起诉的最低金额限制。因此，从法律角度讲，招商银行有权就这笔欠款提起诉讼。
2. 欠款性质：如果欠款属于信用卡透支、贷款等金融借款合同纠纷，且欠款人未按照合同约定履行还款义务，招商银行更有可能选择通过法律途径追讨欠款。
3. 催收情况：在提起诉讼前，招商银行通常会先进行催收。如果催收无果，或者欠款人态度恶劣、拒不还款，招商银行更有可能选择起诉。
4. 成本效益分析：对于小额欠款，招商银行可能会考虑起诉的成本（如律师费、诉讼费等）与可能追回的欠款金额之间的比例。如果成本过高，招商银行可能会选择其他方式（如委托第三方催收机构）来追讨欠款。

三、法律后果

如果招商银行选择起诉，且法院最终判决欠款人需要还款，那么欠款人将面临以下法律后果：

1. 履行还款义务：欠款人需要按照法院判决履行还款义务，包括本金、利息、罚息等。
2. 信用受损：欠款人的信用记录将受到损害，这可能影响其未来申请贷款、信用卡等金融服务。
3. 强制执行：如果欠款人拒不履行法院判决，招商银行可以申请法院强制执行，包括查封、扣押、拍卖欠款人的财产等。

四、建议

1. 积极沟通：如果确实存在还款困难，建议欠款人与招商银行积极沟通，寻求延期还款、分期还款等解决方案。
2. 履行还款义务：如果条件允许，建议欠款人尽快履行还款义务，以避免不必要的法律纠纷和信用受损。
3. 咨询专业律师：如果面临起诉或已经收到法院传票，建议欠款人及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果和应对策略。

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