结论前置：在借款期间未约定利息的情况下，出借人仍然有权在借款人逾期还款时主张逾期利息。具体处理方式需根据是否约定借期内利率来区分。
法律依据与处理方式
既未约定借期内利率，也未约定逾期利率
- 根据《最高人民法院关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》（2020第二次修正）第二十八条第二款第一项，出借人可以主张借款人自逾期还款之日起参照当时一年期贷款市场报价利率（LPR）标准计算的利息承担逾期还款违约责任。这一规定旨在保护出借人的合法权益，确保其在借款人违约时能够获得一定的经济补偿。
- 实例说明：假设甲借给乙10万元，双方未约定任何利息，借款到期后乙未还款。此时，甲可以按照当时一年期贷款市场报价利率向乙主张逾期利息。
约定了借期内利率但未约定逾期利率
- 依据上述规定第二十八条第二款第二项，出借人有权要求借款人自逾期还款之日起按照借期内利率支付资金占用期间利息。这意味着，如果双方在借款时约定了借期内的利率，即使未明确约定逾期利率，出借人也可以按照借期内的利率主张逾期利息。
- 实例说明：若甲借给乙10万元，约定借期内年利率为10%，但未约定逾期利率。借款到期后乙未偿还，甲可以要求乙按10%的年利率支付逾期利息。
注意事项
保留证据：
- 出借人必须妥善保管所有能证明借贷关系存在、借款交付以及逾期未还款情况的证据。这些证据包括但不限于借款合同、转账记录、聊天记录等。保留好证据是维权的基础，也是确保出借人能够顺利主张逾期利息的关键。
及时维权：
- 出借人应注意诉讼时效问题。一般来说，民间借贷的诉讼时效为三年，从约定的还款期限届满之日起计算。如果超过诉讼时效，借款人的抗辩权可能得到法院支持，出借人的权益将难以保障。因此，出借人应在诉讼时效内及时采取行动，维护自己的合法权益。
合理主张：
- 出借人在主张逾期利息时，应遵守法律法规，不得提出过高或不合理的利息要求。逾期利息的计算应参照当时一年期贷款市场报价利率或借期内利率进行，确保主张的合法性与合理性。
后续行动建议
- 协商解决：在借款人逾期还款后，出借人首先可以尝试与借款人进行协商，寻求达成一致意见。通过协商解决纠纷可以节省时间和成本，同时也有助于维护双方的关系。
- 诉讼或仲裁：如果协商无果，出借人可以通过诉讼或仲裁途径维护自身权益。在提起诉讼或仲裁前，出借人应准备好充分的证据材料，并咨询专业律师的意见以确保自己的诉求得到支持。
综上所述，即使借款期间未约定利息，出借人在借款人逾期还款时仍然有权主张逾期利息。关键在于保留好证据、及时采取合适的行动，并遵循法律与公平原则进行合理主张。如果你面临类似情况或有其他法律问题，可以直接向我咨询。