当事业单位合同到期不续聘时，这一处理过程需要严格遵循国家法律法规，并兼顾双方的合法权益。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》及《事业单位人事管理条例》的相关规定，事业单位与工作人员订立的聘用合同期满时，合同自然终止。同时，这些法规也明确了合同终止后的相关处理流程和双方的权利义务。
二、处理流程
提前通知：
- 事业单位应在合同期满前一定时间内（通常建议至少提前30日）以书面形式通知工作人员是否续签合同。若决定不续签，应明确告知工作人员，并说明不续签的理由。
工作交接：
- 合同期满后，工作人员应按照单位要求办理工作交接手续，包括归还办公用品、资料等，确保工作的连续性和稳定性。这是工作人员应尽的义务，也是单位正常运营的需要。
经济补偿：
- 根据《劳动合同法》的规定，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而工作人员不同意续订，否则用人单位终止固定期限劳动合同的，应向工作人员支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常按工作人员在本单位工作的年限来确定，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向工作人员支付半个月工资的经济补偿。
出具证明：
- 事业单位应在解除或终止劳动合同时出具相关证明，并在十五日内为工作人员办理档案和社会保险关系转移手续。这是单位的法定义务，也是保障工作人员后续权益的重要措施。
争议解决：
- 若因合同期满不续签产生争议，双方应首先尝试通过协商解决。协商不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
三、特殊情形处理
无固定期限劳动合同：
- 若工作人员在事业单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且没有法定不续签情形的，工作人员提出续订无固定期限劳动合同的，事业单位应当与其订立。
孕期、产期、哺乳期女职工：
- 对于处于孕期、产期、哺乳期的女职工，即使合同期满，用人单位也不得随意解除劳动合同，而应顺延至相应情形消失时终止。这是保护女职工特殊权益的重要规定。
四、注意事项
保留证据：
- 在整个处理过程中，事业单位和工作人员都应保留好相关证据，如通知书、交接清单、工资条等，以备不时之需。这些证据在争议解决过程中可能起到关键作用。
沟通协商：
- 双方应保持积极沟通，尽量通过协商解决问题。这不仅可以减少不必要的法律纠纷，还能维护双方的良好关系。
综上所述，事业单位在处理合同到期不续聘问题时，应严格遵守国家法律法规和地方政策，确保程序的合法性、公正性，并充分保障工作人员的知情权、申诉权及经济补偿等合法权益。同时，双方也应保持积极沟通，共同维护和谐稳定的劳动关系。