结论：私人钟点工摔伤的责任归属问题，需根据具体情况来判断，主要涉及雇主责任、钟点工自身责任以及第三方责任等多个方面。以下是对这些情况的详细分析：
雇主责任：
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。这意味着，如果雇主在提供工作环境、工具或指示等方面存在过错，导致钟点工摔伤，雇主可能需要承担一定的赔偿责任。
- 具体情形：例如，如果雇主家的地面湿滑且未设置警示标志，导致钟点工在清洁过程中摔伤，雇主就可能因未尽到安全保障义务而承担责任。
钟点工自身责任：
- 法律背景：同样根据《中华人民共和国民法典》，如果提供劳务一方因自身原因（如疏忽大意、未遵守安全操作规程等）导致摔伤，那么钟点工自身可能需要承担一定的责任。
- 具体情形：例如，钟点工在清洁高处时未使用安全带或梯子不稳固，导致自己摔伤，这种情况下，钟点工自身可能需要承担主要责任。
第三方责任：
- 法律背景：如果钟点工的摔伤是由第三方（如其他家庭成员、访客或宠物等）的行为导致的，那么第三方可能需要承担相应的赔偿责任。
- 具体情形：例如，如果雇主家的宠物突然冲出，导致正在清洁的钟点工摔伤，那么宠物的主人（即雇主或家庭成员）可能需要作为第三方承担责任。
法律建议：
- 雇主方面：作为雇主，应确保提供安全的工作环境，对可能存在的危险进行警示，并为钟点工提供必要的安全防护工具。同时，在雇佣钟点工时，可以明确双方的权利和义务，包括安全责任方面的约定。
- 钟点工方面：作为钟点工，应遵守安全操作规程，注意自身安全。在提供劳务过程中，如果发现工作环境存在安全隐患，应及时向雇主提出并要求改善。
- 争议解决：如果发生摔伤事故，双方应首先尝试通过协商解决争议。如果协商不成，可以寻求法律途径解决，如向人民法院提起诉讼或申请仲裁等。
可能法律后果：
- 如果雇主被认定存在过错，可能需要承担医疗费用、误工费、护理费等赔偿责任。
- 如果钟点工自身存在过错，可能需要自行承担部分或全部损失。
- 如果第三方被认定存在过错，可能需要承担相应的赔偿责任。
在处理此类问题时，建议双方保持冷静和理性，通过合法途径解决争议。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。