结论：婆婆一般不能直接起诉儿媳不养孩子，但在特定情况下，婆婆可能基于一定法律关系获得起诉资格。以下从不同角度进行分析：
一、直接起诉儿媳不养孩子的情况通常不成立
在婚姻家庭关系中，父母对未成年子女负有法定的抚养义务，这是基于亲子关系而产生的直接法律责任。儿媳作为孩子的母亲，自然负有抚养孩子的法定义务。然而，婆婆与儿媳之间并不存在直接的亲子关系或法定的抚养义务关系。因此，从一般法律原则出发，婆婆不能直接起诉儿媳不养孩子。
二、特定情况下婆婆可能获得起诉资格
婆婆成为孩子的法定监护人：
- 如果孩子的父母因故无法履行抚养义务（如死亡、失踪、严重疾病等），且没有其他合适的监护人时，婆婆可能基于法律规定或法院指定成为孩子的法定监护人。
- 在这种情况下，婆婆作为法定监护人，有权要求儿媳（如果儿媳是孩子的母亲且健在）履行抚养义务。如果儿媳拒绝履行，婆婆可以以法定监护人的身份起诉儿媳。
婆婆实际承担了抚养责任：
- 如果婆婆在实际生活中承担了抚养孩子的责任（如提供生活费用、教育费用等），而儿媳作为孩子的母亲却未履行相应的抚养义务。
- 在这种情况下，婆婆虽然不是孩子的法定监护人，但可以基于无因管理或不当得利等法律原则，向儿媳主张返还其已支付的抚养费用或要求儿媳履行抚养义务。不过，这种主张通常需要通过民事诉讼中的其他案由（如无因管理之债、不当得利返还等）来实现，而不是直接以“不养孩子”为由起诉。
三、法律建议
收集证据：
- 如果婆婆认为儿媳未履行抚养义务，首先应收集相关证据，如孩子的生活费用支出记录、教育费用支出记录、与儿媳的沟通记录等。
- 这些证据将有助于证明儿媳未履行抚养义务的事实，以及婆婆实际承担了抚养责任的情况。
寻求法律援助：
- 在准备起诉之前，婆婆可以咨询专业律师（如我）的意见，了解具体的法律程序和可能面临的法律风险。
- 律师将根据婆婆的具体情况，提供针对性的法律建议和诉讼策略。
考虑其他解决方式：
- 在提起诉讼之前，婆婆也可以考虑与儿媳进行协商或调解，尝试通过和平的方式解决抚养问题。
- 如果协商或调解无果，再考虑通过法律途径解决。
最后，婆婆一般不能直接起诉儿媳不养孩子，但在特定情况下（如成为孩子的法定监护人或实际承担了抚养责任），婆婆可能基于一定法律关系获得起诉资格。如果您有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。