结论：在未约定付款时间的情况下，诉讼时效的计算需根据具体情况确定，但总体遵循《中华人民共和国民法典》关于诉讼时效的一般规定，即三年诉讼时效期间，并考虑二十年的最长保护期限。起算点则依据债权人主张权利及债务人反应的不同情况而定。以下是对这一问题的详细分析：

一、诉讼时效的基本规定

根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。

二、未约定付款时间时的诉讼时效起算

1. 债权人要求债务人履行义务的宽限期届满之日：

   • 若合同未约定付款时间，但双方事后协商或通过其他方式确定了履行宽限期（例如债权人通知债务人在30日内付款），则诉讼时效应从宽限期届满之日起计算。

2. 债务人明确表示不履行义务之日：

   • 若债务人直接拒绝履行或承认无法履行债务（如书面回复“无力偿还”），则诉讼时效应从该拒绝或承认之日起计算。

3. 债权人首次主张权利之日：

   • 若债权人通过催款函、律师函等方式首次明确要求债务人履行义务，且债务人未提出异议，则诉讼时效应从该主张之日起计算。需注意保留催款证据（如邮寄凭证、签收记录）。

4. 无上述情形时的处理：

   • 若既无宽限期约定，也无明确拒绝或主张行为，则适用二十年最长诉讼时效。但此情形下，建议债权人主动采取催款措施以固定时效起算点，避免因时效问题而丧失法律保护。

三、特殊情况下的考虑

• 诉讼时效的中断与延长：
  • 在诉讼时效期间内，若权利人提出履行请求、义务人同意履行、提起诉讼或申请仲裁等，可导致诉讼时效中断并重新计算。特殊情况下，人民法院可根据权利人申请延长诉讼时效。

四、实际操作建议

1. 及时主张权利：

   • 债权人应密切关注债务履行情况，一旦发现权利可能受损，应及时向债务人主张权利，以避免因超过诉讼时效而丧失法律保护。

2. 保留证据：

   • 在主张权利过程中，务必保留好相关证据，如书面催款通知、微信聊天记录、邮寄凭证、签收记录等，以证明诉讼时效的起算点和中断情况。

3. 了解法律规定：

   • 在处理未约定付款期限的合同纠纷时，应深入了解相关法律法规和司法解释，确保自身权益得到充分保护。

示例说明：

假设甲于2020年5月向乙借款10万元，未约定还款期限。2022年3月，甲向乙发送催款函并要求1个月内还款，乙签收但未回应。那么，诉讼时效从宽限期届满次日（即2022年4月1日）起算，至2025年3月31日届满。

综上所述，未约定付款期限的诉讼时效问题需结合具体情境进行判断。债权人应充分了解法律规定，及时主张权利，并保留好相关证据，以维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。