法定代表人死亡后，公司的存续并不会自动消失。以下从不同角度为你详细分析：
一、公司存续的法律依据
根据《中华人民共和国公司法》的相关规定，公司是企业法人，有独立的法人财产，享有法人财产权。公司以其全部财产对公司的债务承担责任。公司的存续并不依赖于某个特定的自然人，包括法定代表人。因此，即使法定代表人死亡，公司仍然可以继续存在和运营。
二、法定代表人变更与影响
法定代表人变更：当法定代表人死亡后，公司需要按照相关法律法规和公司章程的规定，及时办理法定代表人的变更手续。这通常涉及选举新的法定代表人，并更新公司登记信息。
对公司的运营影响：法定代表人的变更可能会对公司的日常运营产生一定影响，如需要重新办理一些业务手续、更新合同等。但这些影响通常是暂时的，且可以通过及时变更法定代表人来消除。
三、公司存续的保障措施
公司章程的约定：公司章程是公司的基本法律文件，其中可以约定公司存续、运营、管理等方面的规则。如果公司章程中有关于法定代表人死亡后公司存续和运营的具体规定，那么公司应按照章程的规定执行。
股东会的决策：在公司章程没有明确规定的情况下，股东会作为公司的最高权力机构，有权对公司的重要事项进行决策。因此，当法定代表人死亡后，股东会可以召开会议，讨论并决定公司的后续运营方案。
法律程序的遵循：在处理法定代表人死亡后的相关事宜时，公司应严格遵守相关法律法规的规定，如及时办理工商变更登记、通知债权人等。这有助于保障公司的合法权益，避免不必要的法律纠纷。
四、特殊情况下的处理
如果公司因法定代表人死亡而陷入无法正常运营的困境，如股东之间存在严重分歧、公司资产被冻结等，那么公司可能需要寻求法律途径来解决这些问题。例如，可以向法院申请解散公司并进行清算，或者通过股东之间的协商达成一致意见来恢复公司的正常运营。
总结与建议：法定代表人死亡后，公司的存续并不会自动消失。公司应按照相关法律法规和公司章程的规定，及时办理法定代表人的变更手续，并采取措施保障公司的正常运营。如果遇到特殊情况或法律问题，建议及时向我咨询，以便更好地维护公司的合法权益。