针对镇政府不履行法定职责的情况，您可以通过行政复议、行政诉讼、投诉举报等法律途径来维护自身合法权益。以下是具体分析和建议：

1. 确认镇政府的具体法定职责
   首先需要明确镇政府是否确实负有您所主张的法定职责。这需要结合具体法律法规（如《地方各级人民代表大会和地方各级人民政府组织法》《城乡规划法》《土地管理法》等）以及地方性法规、规章来分析。例如：

   • 若涉及土地征收补偿，需依据《土地管理法》确认镇政府是否为补偿主体；
   • 若涉及环境治理，需依据《环境保护法》确认镇政府是否负有监管职责。

2. 行政复议途径
   若镇政府未履行职责，您可向其上一级人民政府（如县政府）或所属的区县政府提出行政复议申请，要求复议机关责令镇政府履行职责。

   • 程序要点：需在知道镇政府不作为之日起60日内提出复议申请，并提交相关证据（如申请履行职责的书面材料、镇政府未回复的证明等）。
     
   • 优势：复议程序相对简便，且复议机关作为上级部门，对镇政府有监督权，可能更高效推动问题解决。

3. 行政诉讼途径
   若复议未果或您选择直接起诉，可向法院提起行政诉讼，要求确认镇政府不作为违法并责令其履行职责。

   • 程序要点：需在知道镇政府不作为之日起6个月内起诉，并提交起诉状、证据材料（如申请材料、镇政府未履职的证明等）。
     
   • 优势：法院作为中立第三方，判决具有强制执行力，若镇政府仍不履行，可申请法院强制执行。

4. 投诉举报途径
   您还可通过以下方式监督镇政府履职：

   • 向县级以上人民政府监察委员会（或纪委监委）举报镇政府工作人员不作为；
     
   • 通过“12345”政务服务便民热线或政府网站投诉平台反映问题；
     
   • 向县级人大常委会提出监督建议（依据《监督法》，人大有权监督政府工作）。

5. 注意事项

   • 证据收集：务必保留向镇政府提出履职申请的书面材料（如挂号信回执、电子邮件截图等），以及镇政府未回复或明确拒绝的证据。
     
   • 时效性：行政复议和诉讼均有严格期限，逾期可能丧失救济权利。
     
   • 专业协助：若涉及复杂法律问题（如职责界定、程序合规性等），建议提前咨询律师，确保申请或起诉材料符合法律要求。

总结：镇政府不履行法定职责时，您可通过行政复议、行政诉讼或投诉举报等途径维权，关键在于明确其职责依据、保留证据并注意程序时效。如有具体案件细节需要分析，欢迎随时向我咨询。