结论：对裁定终结再审审查的再审案件，当事人可以向检察机关提出检察建议或抗诉，但需满足法定条件并遵循相应程序。以下从法律依据、适用情形、申请流程及注意事项四个方面展开分析：

一、法律依据与适用情形

根据《中华人民共和国民事诉讼法》第209条及《人民检察院民事诉讼监督规则》，当事人对再审裁定申请检察建议或抗诉，需满足以下情形之一：

1. 再审裁定适用法律错误：如原裁定在法律适用上存在明显偏差，导致裁判结果不公正；
2. 审判人员违法行为：如审判人员在审理过程中存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为；
3. 程序违法影响公正审判：如再审程序存在重大瑕疵，可能影响案件公正审理；
4. 新证据足以推翻原判决：如当事人发现新的证据，且该证据足以推翻原判决或裁定。

典型案例：某合同纠纷案中，当事人申请再审被驳回后，发现承办法官收受对方当事人贿赂的证据，遂向检察院申请抗诉。检察院经调查核实后，依法提出抗诉，案件由上级法院提审并改判。此案例表明，关键证据的获取是启动抗诉的核心，尤其是审判人员违法违纪的直接证据。

二、申请流程与材料准备

1. 申请流程：

   • 提交材料：向作出生效裁判法院的同级检察院递交申请书及相关证据；
   • 审查受理：检察院在3个月内决定是否受理（复杂案件可延长1个月）；
   • 调查核实：检察院通过调阅卷宗、询问当事人等方式核查事实；
   • 结果反馈：检察院作出提出检察建议/抗诉决定，或不支持监督申请的决定。

2. 关键材料清单：

   • 原生效裁判文书、再审裁定书；
   • 新证据（如存在）及证据来源说明；
   • 法律适用错误的详细分析（引用具体法条）；
   • 审判人员违法违纪线索（如有）。

三、检察建议与抗诉的区别与选择

选择策略：

• 若认为原审存在轻微程序瑕疵且无实质影响，优先申请检察建议；
• 若涉及重大法律错误或审判人员违法，应直接申请抗诉以强化监督力度。

四、注意事项与风险提示

1. 时效限制：需在知道或应当知道再审裁定之日起6个月内提出申请；
2. 证据标准：需提供“新的证据”或证明原裁判存在“明显错误”；
3. 滥用后果：无正当理由反复申诉可能被视为滥用诉讼权利，面临司法处罚；
4. 救济衔接：若检察院不支持监督申请，可通过信访等途径反映问题，但不得重复申请检察监督。

五、进一步行动建议

1. 证据收集：重点收集审判人员违法违纪的直接证据或新证据，以支持申请；
2. 法律分析：详细分析原裁定在法律适用或程序上的错误，并引用具体法条；
3. 专业协助：如案件复杂，可委托律师协助撰写申请书及整理证据材料。

如有进一步疑问或需具体法律帮助，可直接向我咨询。