要证明奶奶和孙子之间的关系，可以通过以下几种方式来进行，这些方式都是基于官方或法律认可的证明材料，能够确保关系的真实性和合法性：

1. 利用公安部或地方人口信息管理系统：

   • 如果公安部人口信息系统或您所在地区的人口信息管理系统中已经记载了相关的家庭成员信息，包括父亲、母亲以及孙子的信息，那么业务受理民警可以通过查询这些系统来证明奶奶和孙子之间的关系。

2. 提供相关证照或文件：

   • 出生医学证明：这是证明孩子出生情况及父母身份的基本文件，虽然它直接证明的是父母与孩子的关系，但结合其他信息（如父母的户口本或身份证），可以间接证明奶奶与孙子的关系。
   • 户口本：户口本是记录家庭成员关系的重要文件，如果户口本上明确记载了奶奶、父亲（或母亲）以及孙子的信息，并且能够体现出他们之间的直系亲属关系，那么户口本就可以作为证明。
   • 在某些特殊情况下，如果孙子是通过收养等方式成为家庭成员的，那么《收养登记证》或《事实收养公证书》也可以作为证明关系的一种方式。

3. 查询历史户籍档案：

   • 业务受理民警可以通过翻阅或查询历史户籍档案来证明历史户成员之间的关系。如果档案中明确记载了奶奶和孙子的关系，那么这也可以作为有效的证明。

4. 公证机构出具的亲属关系公证书：

   • 如果需要更加正式和具有法律效力的证明，可以向公证机构申请出具《亲属关系公证书》。公证机构会根据提供的证据和调查结果，出具具有法律效力的公证书，明确证明奶奶和孙子之间的关系。

5. 亲子鉴定（在特定情况下）：

   • 虽然亲子鉴定通常用于证明父母与孩子之间的生物学关系，但在某些特殊情况下（如家庭关系复杂、存在争议等），也可以通过亲子鉴定来间接证明奶奶与孙子之间的关系（例如，通过鉴定孙子与父亲的关系，再结合父亲与奶奶的关系来推断）。不过，这种方式相对复杂且成本较高，通常不是首选。

6. 政府间信息共享：

   • 如果政府间实现了信息共享，并且能够查询到相关的出生医学证明、结婚证等信息，那么业务受理民警也可以通过这些信息来证明奶奶和孙子之间的关系。

在实际操作中，您可以根据自己的具体情况和需要选择合适的方式来证明奶奶和孙子之间的关系。如果可能的话，建议优先选择户口本或公证机构出具的亲属关系公证书等具有法律效力的证明材料。