针对您提出的问题，即离婚后原监护人因孩子长大而对方突然声称自己是监护人，并询问是否可以起诉要求支付监护费，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确的是，离婚后，父母双方对子女的抚养义务是持续存在的，这并不因子女的年龄增长而自动消除。监护权（或抚养权）的归属，通常是在离婚时由法院根据双方的具体情况，以及最有利于未成年子女的原则进行判决的。若之后情况发生变化，如原监护人无法履行监护职责，另一方是可以请求变更抚养关系的。
关于监护权的变更
变更条件：根据《最高人民法院关于适用<中华人民共和国民法典>婚姻家庭编的解释(一)》第五十六条，若原监护人因患严重疾病、伤残无力继续抚养，或不尽抚养义务、虐待子女，或对子女身心健康有不利影响，或子女已满八周岁愿随另一方生活且该方有抚养能力，或有其他正当理由，父母一方均可要求变更子女抚养关系。
变更程序：若父母双方无法就变更抚养关系达成协议，应另行提起诉讼，由法院根据具体情况进行判决。
关于起诉要求支付监护费
监护费的概念：在法律上，通常没有“监护费”这一明确术语。但如果您指的是因抚养子女而产生的费用，如生活费、教育费、医疗费等，这些费用在离婚后通常是由非直接抚养方支付给直接抚养方的，即抚养费。
起诉要求支付抚养费：若对方突然声称自己是监护人，并拒绝支付或未支付之前约定的抚养费，您作为直接抚养方，是有权向法院起诉要求对方支付抚养费的。法院会根据双方的经济状况、子女的实际需要以及当地的生活水平等因素，来确定抚养费的数额和支付方式。
证据准备：在起诉前，您需要准备充分的证据来证明对方未支付抚养费的事实，如银行转账记录、收据、聊天记录等。同时，您也需要提供子女的实际需要和当地生活水平的证据，以支持您的诉讼请求。
实际操作建议
协商解决：在起诉前，您可以尝试与对方进行协商，看是否能够就抚养费的支付问题达成一致。这可以节省时间和精力，并避免不必要的法律纠纷。
寻求法律援助：如果您对法律程序不熟悉或无法自行处理，可以寻求专业的法律援助或咨询律师。律师可以为您提供法律建议、起草法律文书并代表您出庭应诉。
关注子女意愿：如果子女已满八周岁，他们的意愿也是法院在判决时会考虑的重要因素。因此，在处理抚养费问题时，您也需要关注子女的意愿和感受。
综上所述，若对方突然声称自己是监护人并拒绝支付抚养费，您作为直接抚养方是有权向法院起诉要求对方支付的。在起诉前，请确保准备充分的证据并考虑协商解决的可能性。如有需要，请寻求专业的法律援助。