在涉嫌行贿的案件中，刑事拘留的期限一般不超过37天，但具体拘留时间会根据案件情况有所不同。以下是对这一问题的详细分析：

一、一般情况下的刑事拘留期限

在侦查阶段，对于被拘留的行贿嫌疑人，公安机关若认为需要逮捕，应在最长3日内提请人民检察院审查批准。人民检察院在接到公安机关提请批准逮捕书后，应在7日内作出批准或不批准逮捕的决定。因此，在一般情况下，行贿刑事拘留的期限最长为10日（3日公安机关侦查 + 7日人民检察院审查）。

二、特殊情况下的刑事拘留期限

1. 公安机关提请审查批准时间延长：

   • 若存在特殊情况，如案件复杂、证据收集困难等，公安机关提请审查批准的时间可以延长1日至4日。
   • 在这种情况下，加上人民检察院的审查时间，刑事拘留的最长期限则为（3 + 4）日 + 7日 = 14日。

2. 流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子：

   • 对于涉及流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑分子，法律允许公安机关将提请审查批准的时间延长至30日。
   • 加上人民检察院的审查时间，这类情况下刑事拘留的最长期限可达30日 + 7日 = 37日。

三、拘留期满后的处理

• 若人民检察院未批准逮捕，公安机关应立即释放被拘留者，或依法变更为取保候审、监视居住等其他强制措施。
• 若人民检察院批准逮捕，案件将进入后续的审查起诉和审判阶段。

四、法律建议

1. 了解自身权利：

   • 犯罪嫌疑人及其家属应充分了解自身在刑事诉讼过程中的权利，如申请取保候审、提出无罪或罪轻的辩护意见等。

2. 积极配合司法机关：

   • 在刑事诉讼过程中，犯罪嫌疑人及其家属应积极配合司法机关的工作，如实陈述事实，提供证据材料。

3. 寻求专业法律帮助：

   • 鉴于刑事诉讼的复杂性和专业性，建议犯罪嫌疑人及其家属寻求专业律师的帮助，以维护自身合法权益。

总结：行贿刑事拘留的期限受多种因素影响，但无论是一般情况还是特殊情形，均需严格遵守法律规定的程序和时限。同时，犯罪嫌疑人及其家属应充分了解自身权利，积极配合司法机关的工作，并寻求专业法律帮助以维护自身合法权益。如果您或您的家人涉及此类案件，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。