结论：在此情况下，物业管理部门是否承担责任，主要取决于其是否尽到了安全保障义务。如果物业管理部门未尽到安全保障义务，导致业主摔伤，那么物业管理部门应当承担相应的责任。
分析：
物业管理部门的安全保障义务：
- 根据相关法律法规，物业管理部门有义务对小区内的公共设施进行定期检查、维护和修理，确保其处于安全使用状态。这包括小区内的公共座椅、道路、照明等设施。
- 如果物业管理部门未能及时发现并修复损坏的公共座椅，或者未设置明显的警示标志，导致业主在不知情的情况下坐下摔伤，那么物业管理部门可能未尽到其安全保障义务。
业主的摔伤与物业管理部门责任的关系：
- 如果业主的摔伤是由于物业管理部门未尽到安全保障义务直接导致的，那么物业管理部门应当承担相应的赔偿责任。这包括医疗费用、误工费用、精神损害赔偿等。
- 如果业主的摔伤是由于自身原因（如疏忽大意、未注意观察等）导致的，或者与物业管理部门的安全保障义务无直接关联，那么物业管理部门可能不承担责任。但在此情况下，如果物业管理部门存在过错（如未设置警示标志等），也可能需要承担一定的补充责任。
举证责任：
- 在此类纠纷中，业主需要证明其摔伤是由于物业管理部门未尽到安全保障义务导致的。这可能需要提供现场照片、视频、证人证言等证据。
- 物业管理部门则需要证明其已经尽到了安全保障义务，如提供了定期检查、维护和修理的记录，或者设置了明显的警示标志等。
建议：
- 如果业主认为物业管理部门未尽到安全保障义务导致其摔伤，建议首先与物业管理部门进行协商，寻求和解。
- 如果协商无果，业主可以向相关部门（如房管局、物业协会等）投诉，或者寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
- 在处理此类纠纷时，建议业主保留好相关证据（如现场照片、视频、医疗记录等），以便在需要时提供证明。
后续行动：
- 如果您作为业主遇到了此类情况，并且不确定如何处理，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。
- 同时，也建议您在小区内行走时注意观察周围环境，特别是公共设施的使用状况，以确保自身安全。