劳务派遣员工受伤，责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：

一、劳务派遣单位的责任

1. 工伤保险责任：

   • 劳务派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，这是其法定义务。当劳务派遣员工发生工伤事故时，劳务派遣单位应向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保员工依法享受工伤保险待遇。
   • 若劳务派遣单位未按规定缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤员工支付全部相关费用，包括医疗费、康复费、伤残津贴等。

2. 法定义务：

   • 劳务派遣单位还需履行用人单位对劳动者的其他义务，如保障员工工作安全、提供必要的劳动保护等。在员工因工作原因受伤时，劳务派遣单位应负责支付工伤期间的工资福利待遇等。

二、用工单位的责任

1. 过错责任：

   • 如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，且该损害是由于用工单位的过错（如提供不符合规定的劳动安全设施、违规指挥等）导致的，用工单位需承担相应的赔偿责任。
   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，用工单位在某些情况下可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。例如，当劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费，导致劳动者无法享受工伤保险待遇时，用工单位可能需承担连带赔偿责任。

2. 劳动保护与条件：

   • 用工单位应执行国家劳动标准，为劳务派遣员工提供与直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。若用工单位未能提供必要的劳动保护和条件，导致员工受伤，用工单位应承担相应的责任。

三、特殊情况下的责任划分

1. 劳务派遣单位有过错时的责任：

   • 若劳务派遣单位存在过错（如选任不当、管理不善等），导致被派遣劳动者无法享受工伤保险待遇或遭受其他损失的，劳务派遣单位需承担相应的补充责任。例如，若劳务派遣单位未对被派遣劳动者进行必要的安全培训，导致其在工作中受伤，劳务派遣单位可能需承担赔偿责任。

2. 个人原因导致的伤害：

   • 若被派遣劳动者的受伤是由于自身故意行为、违反操作规程或其他个人原因造成的，且用工单位和劳务派遣单位不存在过错，则相关损失通常由劳动者自行承担。但此情况下仍需结合具体案情判断，例如劳动者是否因用工单位提供的设备缺陷而违规操作。

四、工伤认定与赔偿流程

1. 工伤认定申请：

   • 被派遣劳动者或其近亲属应在事故伤害发生之日起一年内，向用工单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。提交材料包括工伤认定申请表、劳动关系证明材料及医疗机构诊断证明等。

2. 劳动能力鉴定：

   • 经治疗伤情相对稳定后，可向劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定，确定伤残等级。

3. 工伤保险基金支付：

   • 认定为工伤后，由工伤保险基金支付医疗费、康复费等费用；构成伤残的，按伤残等级支付一次性伤残补助金等。

4. 单位支付部分：

   • 用工单位需支付停工留薪期工资福利待遇，劳务派遣单位承担连带责任。若劳务派遣单位未缴纳工伤保险，则所有费用由劳务派遣单位承担，用工单位按过错比例分担。

五、争议解决途径

若各方对责任承担存在争议，可通过以下方式解决：

• 协商调解：优先通过友好协商解决争议。
• 劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，仲裁结果具有法律效力。
• 法律诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼，通过司法程序解决争议。

总结与建议： 劳务派遣员工受伤时，责任的承担需综合考虑劳务派遣单位和用工单位的具体行为、法律规定以及双方之间的协议约定。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，建议劳务派遣单位和用工单位在签订劳务派遣协议时明确约定工伤事故的责任分担方式，并依法为劳动者缴纳工伤保险费。同时，劳动者在受伤后应及时申请工伤认定，并保留好相关证据材料，以便在后续维权过程中提供有力支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。