结论前置：公司开除员工是否需要支付补偿金，主要取决于开除的原因和是否符合相关法律法规的规定。若员工存在严重过错或法定过错情形，公司通常无需支付补偿金；若公司违法解除劳动合同或未按照法定程序进行经济性裁员等，则需支付相应的补偿金或赔偿金。
一、公司无需支付补偿金的情形
员工严重违纪：
- 当员工严重违反公司的规章制度，如多次旷工、严重违反安全操作规程导致重大事故、泄露公司商业机密等，且公司有明确的规章制度并已向员工公示告知，此时解除劳动合同无需支付补偿金。例如，某员工因多次无故旷工，严重违反了公司的考勤制度，公司依据规章制度将其开除，无需支付补偿金。
试用期不符合录用条件：
- 在试用期内，若公司能够证明员工不符合录用条件（需有明确录用条件并能提供证据证明），可以解除劳动合同且无需支付补偿。比如，员工入职后发现其专业技能证书系伪造，或不能完成试用期设定的基本工作任务等。
员工被依法追究刑事责任：
- 若员工被依法追究刑事责任，如被判处拘役、有期徒刑等刑罚，公司有权解除劳动合同且无需支付补偿。例如，员工因犯罪被判处有期徒刑，公司可以立即解除劳动合同，且无需支付任何补偿。
其他法定过错情形：
- 如员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位任务造成严重影响，或经公司提出拒不改正等，公司辞退员工也无需支付经济补偿。
二、公司需要支付补偿金的情形
协商一致解除劳动合同：
- 公司与员工协商一致解除劳动合同的，公司应根据协商结果支付相应的经济补偿金。经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。例如，员工在公司工作了3年6个月，公司与其协商一致解除劳动合同，应支付4个月工资的经济补偿。
非员工过错的解除：
- 员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作；或员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未能就变更协议达成一致等情形，公司需提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同，并按员工在本单位工作的年限支付经济补偿。
经济性裁员：
- 公司因破产重整、经营严重困难等法定情形进行经济性裁员，需按照《劳动合同法》规定的程序进行（如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、将裁减人员方案向劳动行政部门报告等），并支付经济补偿。经济补偿的计算标准与上述相同。
违法解除劳动合同：
- 若公司无正当理由或解除劳动合同的程序不符合法律规定（如未提前通知工会、未以书面形式通知劳动者等），则属于违法解除，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，公司未提前通知员工就将其开除，属于违法解除，应支付双倍的经济补偿作为赔偿。
三、特殊情况下的补偿金支付
无劳动合同被辞退：
- 若公司自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同，需从第二个月起每月支付二倍工资，最多支付11个月；若满一年未签订，则视为已订立无固定期限劳动合同，并需支付相应的二倍工资。但这一情形下的支付并非传统意义上的“补偿金”，而是对未签订书面劳动合同的惩罚性赔偿。
过了退休年龄被辞退：
- 若退休人员已开始享受基本养老保险待遇，被辞退时通常无经济补偿；但若未享受基本养老保险待遇且与公司仍为劳动关系，被辞退时可能有经济补偿。这需要根据具体情况和当地法律法规进行判断。
法律建议：公司在开除员工时，应严格遵守相关法律法规的规定，确保解除劳动合同的原因和程序合法合规。同时，建议公司在制定规章制度时明确各项条款，并向员工进行公示告知，以避免因规章制度不明确而引发的劳动纠纷。员工在面对公司开除时，也应了解自己的权益和法律法规的规定，必要时可寻求法律帮助以维护自己的合法权益。
可能法律后果：若公司违法解除劳动合同或未按照法定程序支付经济补偿等，可能面临劳动仲裁或诉讼的风险，并需承担相应的法律责任和赔偿义务。因此，公司在处理劳动纠纷时应谨慎行事，确保合法合规。