当车辆发生事故私了后对方不履行责任时，你可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
尝试友好协商：
- 主动沟通：首先，尝试与对方进行友好沟通，明确指出私了协议的内容及约定，并了解对方不履行的原因。有时候，对方可能只是因为某些临时困难或误解而未能履行协议。
- 寻求共识：在沟通中，双方可以寻求共识，比如协商一个新的付款时间或分期付款的方式，以期达成新的解决方案。同时，保留好沟通记录，如聊天记录、通话录音等，为后续可能的法律程序做准备。
寻求第三方调解：
- 交警部门调解：根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十四条，你可以请求公安机关交通管理部门对交通事故损害赔偿进行调解。交警部门具有专业性和权威性，能够促使双方达成和解。
- 人民调解委员会调解：此外，你还可以向当地的人民调解委员会申请调解。该委员会是依法设立的群众性组织，专门处理民间纠纷，其调解结果具有法律约束力。
考虑保险代位追偿：
- 申请条件：如果对方车辆已投保，且协商与调解均未能解决问题，你可以考虑向自己的保险公司申请代位追偿。这是一种由保险公司先行赔付并取得代位追偿权，再向责任人追偿的机制。
- 注意事项：但请注意，此方式可能受保险条款限制，具体应咨询你的保险公司，了解申请代位追偿的具体条件和流程。
提起民事诉讼：
- 诉讼准备：若上述方式均无法奏效，你可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在提起诉讼前，你需要准备好民事起诉状及相关证据材料，如事故现场照片、视频、私了协议（如有书面）、沟通记录、医疗费用单据、修车发票等损失证明材料。
- 诉讼过程：提交诉讼材料后，按照法院的指引参加庭审，陈述案件事实、出示证据、进行辩论。法院将按照法定程序审理案件，并最终作出公正判决。
申请强制执行：
- 执行条件：如对方在判决规定的履行期限内仍未履行责任，你可以向法院申请强制执行。法院将依法查询并执行债务人名下的财产，包括房产、车辆、证券和存款等。
- 执行后果：若债务人仍不履行，将面临信用记录受损、被限制高消费及出入境、甚至可能被司法拘留等严重后果。
在处理此类问题时，你还需要注意以下几点：
- 保留证据：在整个过程中，务必妥善保留和整理所有与交通事故及私了相关的证据。这些证据对于后续的法律程序至关重要，将直接影响你的权益保护效果。
- 了解法律：在采取任何行动前，建议你先了解相关的法律法规和程序要求，以便更好地维护自己的合法权益。
- 保持冷静：在处理此类纠纷时，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或言语攻击对方，以免加剧矛盾或影响后续的法律程序。
最后，我想强调的是，每个交通事故案件都有其独特性和复杂性。因此，在处理此类问题时，建议你根据自己的实际情况和需求来选择合适的解决方式。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。