针对您提出的“在小区公共区域私装充电桩什么部门可以处罚”的问题，以下是我的详细解答：
在小区公共区域私自安装充电桩，这一行为通常涉及到城市管理和公共安全的问题。根据相关法律法规和实际案例，城市管理和综合执法部门是主要的处罚部门。
法律依据与处罚依据
《城市道路管理条例》：该条例明确规定了城市道路及其附属设施的管理要求，包括不得擅自占用城市道路设置设施等。若充电桩未经批准擅自占用小区公共区域（若该区域被视为城市道路或公共场所的一部分），则违反了此条例，城市管理和综合执法部门有权进行处罚。
地方性法规：如《湛江市城区市容和环境卫生管理条例》等地方性法规，也可能对擅自占用公共区域设置充电桩等行为作出具体规定，并明确处罚措施。
实际案例与处罚措施
以裕安支队小华山城管执法大队的处理案例为例，当接到群众投诉反映小区内业主私自安装充电桩时，执法大队会首先前往现场了解情况。若确认充电桩未经审批备案且存在安全隐患，执法大队会先告知业主自行拆除。若业主未在规定时间内自行拆除，城市管理和综合执法部门将依法组织强制拆除，并可能要求业主承担由此产生的一切后果及费用。
处罚流程与注意事项
调查取证：城市管理和综合执法部门在接到投诉或发现违法行为后，会进行调查取证，确认充电桩是否未经批准擅自安装。
告知与限期拆除：若确认违法行为存在，执法部门会告知业主或相关责任人限期自行拆除充电桩，并恢复公共区域原状。
强制拆除与处罚：若逾期未自行拆除，执法部门将依法组织强制拆除，并可能根据相关法律法规对业主或相关责任人进行罚款或其他处罚。
建议与提醒
为了避免不必要的法律纠纷和安全隐患，建议您在安装充电桩前，先咨询小区物业或相关部门，了解安装规定和审批流程。确保充电桩的安装符合法律法规要求，并保障公共区域的安全和整洁。
综上所述，对于在小区公共区域私自安装充电桩的行为，城市管理和综合执法部门是主要的处罚部门。他们将根据相关法律法规和实际情况，对违法行为进行调查取证、告知限期拆除、强制拆除及处罚等处理。