如果取保候审没有给证明，可能会产生以下几种情况和后果：
程序瑕疵与权利保障问题：
- 取保候审是刑事诉讼中的一项重要强制措施，其执行应当遵循严格的法定程序。根据相关规定，执行机关在决定取保候审后，应当向被取保候审人出具取保候审决定书和相关证明文件，这是保障被取保候审人合法权益的重要环节。
- 如果没有给证明，可能构成程序上的瑕疵，但这并不直接导致取保候审的无效。然而，这可能会影响到被取保候审人在取保候审期间的权利行使，比如无法凭证明向相关机关证明自己的取保候审状态，可能在出行、通讯等方面受到不必要的限制或干扰。
可能引发的法律纠纷与救济途径：
- 如果被取保候审人因未收到证明而遭受了实际损失或权益受损，比如因无法证明取保候审状态而被错误拘留或限制自由，可以依法向执行机关提出申诉或控告，要求其纠正错误并赔偿损失。
- 在极端情况下，如果执行机关的违法行为严重侵犯了被取保候审人的合法权益，被取保候审人还可以考虑通过法律途径寻求救济，比如提起行政诉讼或国家赔偿申请。
对案件进展的影响：
- 从案件进展的角度来看，未给取保候审证明通常不会直接影响案件的实体审理和判决结果。但是，它可能会影响到被取保候审人在案件审理过程中的参与度和配合度，比如因无法证明取保候审状态而错过重要的诉讼活动或调查机会。
- 此外，如果执行机关的违法行为被揭露或引起关注，可能会对案件的公正性和公信力产生一定的负面影响。
针对这种情况，我给出以下建议：
- 及时与执行机关沟通：如果发现自己没有收到取保候审证明，应首先与执行机关（如公安机关、检察院或法院）取得联系，了解原因并要求其尽快出具证明。
- 保留相关证据：在与执行机关沟通的过程中，应保留好相关的通话记录、短信、邮件等证据，以备不时之需。
- 寻求法律帮助：如果执行机关拒绝出具证明或无法联系到执行机关，可以考虑寻求法律帮助，比如咨询专业律师或向相关法律监督机构投诉。
最后，我想强调的是，取保候审是刑事诉讼中的一项重要制度，其执行应当严格遵循法定程序。如果遇到未给取保候审证明的情况，不要慌张或忽视，应及时采取措施维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。