车辆肇事逃逸的赔偿，可通过以下途径和步骤来主张权利：

1. 立即报警并固定证据：

   • 发生车辆肇事逃逸后，第一时间报警是非常关键的。警方会介入调查，通过调取监控录像、询问目击者等方式，尽力查找逃逸车辆及驾驶员信息。
   • 同时，您应尽可能收集现场证据，如拍照、录像记录事故现场情况，保留好医疗记录、修车发票等相关凭证，这些都将作为后续索赔的重要依据。

2. 确定责任主体：

   • 警方调查结束后，会出具事故责任认定书，明确事故责任方。在肇事逃逸的情况下，逃逸方通常会被认定为全责或主要责任。
   • 如果逃逸车辆被找到，且驾驶员身份明确，那么驾驶员及其保险公司（如有）将成为赔偿的责任主体。
   • 若逃逸车辆未被找到，或者驾驶员无力赔偿，您可以考虑向自己的保险公司申请“无责任赔偿”或“无法找到第三方特约险”等（具体险种依据您购买的保险条款而定），以减轻自身损失。

3. 协商赔偿或提起诉讼：

   • 在责任主体明确后，您可以先尝试与对方或其保险公司进行协商，就赔偿金额、赔偿方式等达成一致。
   • 如果协商无果，或者对方拒绝赔偿，您可以向人民法院提起民事诉讼，要求对方赔偿因事故造成的各项损失，包括但不限于医疗费、误工费、护理费、车辆维修费、精神损害抚慰金等。

4. 注意诉讼时效：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，您应在事故发生后三年内提起诉讼，否则可能会丧失胜诉权。

5. 执行判决：

   • 如果法院判决对方赔偿，而对方拒不履行，您可以向法院申请强制执行，通过查封、扣押、拍卖对方财产等方式，实现您的赔偿请求。

额外提醒：

• 在处理肇事逃逸案件时，保持冷静和理性至关重要。不要因情绪激动而做出过激行为，以免给自己带来不必要的麻烦。
• 如有需要，您可以寻求专业律师的帮助，律师可以为您提供更具体、更专业的法律建议和指导，帮助您更好地维护自己的合法权益。

在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。