结论：故意损坏公私财物价值5000元以上，一般情况下会构成犯罪，但存在一些特定情形可能免除刑事处罚或不被追究刑事责任。以下为你详细分析：
一、可能免除刑事处罚的情形
- 刑事和解
- 法律背景：根据《刑事诉讼法》及相关司法解释，对于一些轻微的刑事案件，犯罪嫌疑人、被告人真诚悔罪，通过向被害人赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解，被害人自愿和解的，双方当事人可以和解。故意毁坏财物罪，如果情节相对较轻，比如是初犯、偶犯，且造成的损失刚刚达到5000元这个标准，犯罪嫌疑人积极赔偿被害人损失并取得谅解，有可能达成刑事和解。
- 法律后果：达成刑事和解后，公安机关可以向人民检察院提出从宽处理的建议。人民检察院可以向人民法院提出从宽处罚的建议；对于犯罪情节轻微，不需要判处刑罚的，可以作出不起诉的决定。人民法院可以依法对被告人从宽处罚，包括免除刑事处罚。
- 举例：小张因一时冲动损坏了邻居价值5500元的财物，事后小张非常后悔，主动向邻居道歉，并全额赔偿了邻居的损失，邻居也表示谅解并出具了谅解书。在这种情况下，小张和邻居有可能达成刑事和解，小张有可能免除刑事处罚。
- 犯罪情节轻微
- 法律背景：《刑法》第三十七条规定，对于犯罪情节轻微不需要判处刑罚的，可以免予刑事处罚，但是可以根据案件的不同情况，予以训诫或者责令具结悔过、赔礼道歉、赔偿损失，或者由主管部门予以行政处罚或者行政处分。在故意毁坏财物罪中，如果犯罪嫌疑人毁坏财物的手段并不恶劣，没有造成其他严重后果，且具有自首、立功等情节，可能被认定为犯罪情节轻微。
- 法律后果：被认定为犯罪情节轻微后，可以免予刑事处罚。
- 举例：小李在与他人发生争执时，一时气愤踢坏了对方价值6000元的物品，但事后小李主动投案自首，如实供述自己的罪行，并且积极赔偿对方损失。在这种情况下，小李有可能被认定为犯罪情节轻微，从而免除刑事处罚。
二、可能不被追究刑事责任的情形
- 不构成犯罪
- 法律背景：虽然故意损坏公私财物价值5000元以上一般构成故意毁坏财物罪，但如果存在一些特殊情况，可能不构成犯罪。比如，行为人没有故意毁坏财物的主观故意，而是由于过失导致财物损坏；或者虽然造成了财物损坏，但损坏的财物价值存在争议，经鉴定后价值不足5000元等。
- 法律后果：不构成犯罪的，不会受到刑事处罚。
- 举例：小王在搬运物品时，不小心将他人的财物碰倒损坏，小王并没有故意毁坏财物的意图，且经鉴定损坏的财物价值为4500元，未达到5000元的标准。在这种情况下，小王不构成故意毁坏财物罪，不会被追究刑事责任。
- 已过追诉时效期限
- 法律背景：《刑法》第八十七条规定，犯罪经过下列期限不再追诉：（一）法定最高刑为不满五年有期徒刑的，经过五年；（二）法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的，经过十年；（三）法定最高刑为十年以上有期徒刑的，经过十五年；（四）法定最高刑为无期徒刑、死刑的，经过二十年。如果二十年以后认为必须追诉的，须报请最高人民检察院核准。故意毁坏财物罪，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。因此，故意毁坏财物罪的追诉时效期限根据情节轻重可能是五年或十年。
- 法律后果：如果犯罪已过追诉时效期限，且没有必须追诉的特殊情况，就不会被追究刑事责任。
- 举例：小赵在十年前故意损坏了他人价值6000元的财物，当时由于各种原因没有被发现和追究。十年后，该案件被发现，但由于已经过了十年的追诉时效期限，且没有必须追诉的特殊情况，小赵不会被追究刑事责任。
建议：如果你或身边的人涉及此类情况，一定要及时收集和保留相关证据，如赔偿凭证、谅解书、自首证明等，以便在后续的法律程序中维护自己的合法权益。同时，要积极配合司法机关的调查和处理，如实陈述事实。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。