核心结论：电梯维修中业委会主任不签字，可通过沟通协商、依据业主大会决议或相关法规推进、寻求法律救济等途径解决，具体如下：

1. 沟通协商
   • 了解原因：首先，尝试与业委会主任进行友好、深入的沟通，了解其不签字的具体原因。有可能是对维修方案存在疑虑，比如认为维修费用过高、维修范围不合理、维修单位资质有问题等；也可能是对维修的紧迫性不认可，觉得目前电梯状况尚可，无需立即维修；还有可能是个人时间安排等原因导致未能及时签字。
   • 解释说明：针对业委会主任提出的原因，进行详细、合理的解释说明。如果是对维修方案的疑虑，可以提供相关的专业资料、报价明细、维修单位的资质证明等，消除其顾虑；如果是对维修紧迫性的不认可，可以列举电梯目前存在的安全隐患、近期发生的故障情况等，强调维修的必要性。通过充分的沟通，争取业委会主任的理解和支持，促使其签字。
2. 依据业主大会决议或相关法规推进
   • 业主大会决议：如果电梯维修事项已经经过业主大会的讨论和表决，并形成了有效的决议，且决议中明确授权业委会负责电梯维修相关事宜，那么业委会主任不签字可能构成不履行职责。在这种情况下，可以依据业主大会的决议，向业委会主任说明其有义务按照决议执行，推动电梯维修工作的进行。
   • 相关法规：根据《物业管理条例》等相关法律法规，业主委员会作为业主大会的执行机构，有责任维护业主的共同利益，保障物业的正常使用。电梯作为物业的重要设施，其维修关系到全体业主的出行安全和正常使用。如果业委会主任无正当理由拒绝签字，影响了电梯维修工作的正常开展，可能违反了相关法规规定的职责。可以向业委会主任指出其行为的违法性，促使其履行职责。
3. 寻求法律救济
   • 向相关部门反映：如果经过沟通协商和依据业主大会决议、相关法规推进后，业委会主任仍然拒绝签字，且其行为严重影响了电梯维修工作，损害了全体业主的利益，可以向当地的房地产行政主管部门、街道办事处或乡镇人民政府等相关部门反映情况。这些部门具有对业主委员会进行指导和监督的职责，可以介入调查，协调解决问题。
   • 提起诉讼：在极端情况下，如果业委会主任的不签字行为给业主造成了重大损失，且其他途径无法解决问题，全体业主或部分业主可以以业委会主任为被告，向人民法院提起诉讼，要求其履行职责，赔偿损失。但提起诉讼需要充分的证据支持，如业主大会决议、沟通记录、电梯故障报告等，以证明业委会主任的不签字行为是不合理的，且给业主造成了损失。