当赌博游戏机相关行为被派出所抓获时，处理方式会依据我国相关法律进行，主要取决于赌博行为的性质和严重程度。以下是对此问题的详细解答：
一、初步处理与调查
拘留与询问：
- 警方在发现赌博游戏机相关行为后，会先将涉赌人员带至派出所进行详细的询问和调查。
- 询问内容通常包括赌博的具体方式、金额、参与次数等关键信息，以了解赌博行为的详细情况。
案件调查与取证：
- 警方会深入调查案件，收集相关证据，如赌博游戏机的实物、交易记录、现场照片或视频等。
- 这些证据将用于确认赌博行为的存在及其严重程度。
二、法律责任判定
不构成犯罪的情况：
- 若参与赌博游戏机但情节较轻，不构成犯罪，则通常按照《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处理。
- 具体处罚可能包括五日以下拘留或五百元以下罚款；情节严重的，可能面临十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上三千元以下罚款。
- “赌资较大”的标准因地区而异，需参考当地公安机关的具体规定。
构成犯罪的情况：
- 赌博罪：若以营利为目的，聚众赌博或以赌博为业，将构成赌博罪。根据《中华人民共和国刑法》，此类行为可处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。
- 开设赌场罪：若利用赌博游戏机开设赌场，组织赌博活动，则构成开设赌场罪。根据法律规定，此类行为可处五年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
三、后续处理与执行
法律程序：
- 根据调查结果，若构成犯罪，警方会将案件移送检察机关审查起诉。涉赌人员在此阶段有权聘请律师进行辩护。
- 若不构成犯罪但违反治安管理规定，警方将依法给予行政处罚。
法院判决与执行：
- 若案件进入法院审判阶段，法院将根据犯罪事实、性质、情节及社会危害程度等因素作出判决。
- 可能的刑罚包括有期徒刑、拘役、罚金等。被判有罪后，涉赌人员需按判决履行刑罚，并在服刑期间接受教育改造。
四、附加后果与警示
- 被查获的赌资、赌博违法所得及赌博所用的本人财物（包括赌博游戏机）将被依法收缴。
- 参与赌博的违法人员还可能面临其他相关处理，如社区戒毒、强制隔离戒毒等（若因赌博涉及吸毒）。
- 赌博行为不仅违法，还会对个人、家庭和社会造成严重的负面影响，如财务损失、家庭破裂、社会风气败坏等。
总结与建议：
赌博游戏机相关行为是违法的，不仅可能面临严厉的法律制裁，还会对个人和社会造成诸多负面影响。因此，我强烈建议公众远离任何形式的赌博活动，遵守法律法规和社会道德规范。如果您或您身边的人涉及此类问题，请尽快咨询专业的法律人士以获取准确的法律意见和帮助。同时，也希望大家能够积极举报赌博行为，共同维护社会的和谐稳定。