结论：在私人民间借贷中，如果借款时双方没有明确约定利息，出借人后续要求支付利息，一般情况下是不合理的，但也有一些特殊情况需要注意。

详细分析：

1. 借款时未约定利息的情况：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人之间的借款合同对支付利息没有约定或者约定不明确的，视为没有利息。这意味着，如果双方在借款时没有明确约定利息，出借人后续要求借款人支付利息，是没有法律依据的，借款人可以拒绝支付。

2. 特殊情况下的利息支付：

   • 逾期利息：虽然借款时未约定利息，但如果借款人逾期未还款，出借人可以要求借款人支付逾期利息。逾期利息的计算方式通常按照中国人民银行同期同类贷款利率或者LPR（贷款市场报价利率）进行计算，具体数额可以根据实际情况和法院的判决来确定。
   • 口头约定或事后补签协议：如果双方在借款时虽然未书面约定利息，但有口头约定，并且出借人能够提供证据证明这一口头约定的存在（如录音、聊天记录等），那么借款人可能需要按照口头约定支付利息。另外，如果双方在借款后补签了关于利息的协议，那么借款人也需要按照补签的协议支付利息。

3. 法律建议：

   • 对于出借人：在出借资金时，最好与借款人明确约定利息，并签订书面借款合同，以避免后续产生纠纷。如果已经出借资金且未约定利息，可以尝试与借款人协商补充约定利息，但需注意保留相关证据。
   • 对于借款人：如果借款时未约定利息，且出借人后续要求支付利息，可以拒绝支付，并告知出借人相关法律规定。如果出借人坚持要求支付利息，借款人可以寻求法律帮助，通过法律途径解决纠纷。

可能后果：

• 如果出借人无法提供证据证明双方有利息约定，且借款人拒绝支付利息，那么出借人可能无法通过法律手段追回利息。
• 如果出借人能够提供证据证明双方有利息约定（如口头约定但留有证据），或者借款人同意支付利息并签订了相关协议，那么借款人可能需要按照约定支付利息，否则可能面临法律诉讼和强制执行等后果。

举例说明：

• 假设甲向乙借款10万元，双方未书面约定利息。借款到期后，乙要求甲支付利息。由于双方未约定利息，甲可以拒绝支付。但如果乙能够提供证据证明双方有口头约定利息（如录音显示甲同意支付一定利息），那么甲可能需要按照口头约定支付利息。

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