结论：房子按揭还不上，银行执行拍卖后，若拍卖所得不足以清偿全部债务，银行确实有权继续向执行人（即借款人）追偿不足部分。但具体追偿方式和期限，以及执行人可能面临的法律后果，需根据实际情况和法律规定来详细分析。
分析说明：
银行追偿权的基础：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，借款人未按约定偿还贷款，银行作为债权人，有权通过法律途径追偿债务。这包括但不限于对抵押物（即房产）进行拍卖、变卖，并以所得价款优先受偿。
拍卖所得不足时的处理：
- 若房产拍卖所得价款不足以清偿全部债务，银行有权继续向借款人追偿剩余债务。这是基于银行与借款人之间的债权债务关系，以及银行作为债权人的合法权益。
追偿方式和期限：
- 追偿方式：银行可以通过法律途径，如向法院申请强制执行，要求借款人偿还剩余债务。在执行过程中，法院可以采取多种措施，如查封、扣押、冻结借款人的其他财产等。
- 追偿期限：追偿期限并非无限期。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，申请执行的期间为二年。从法律文书规定履行期间的最后一日起计算；法律文书规定分期履行的，从规定的每次履行期间的最后一日起计算；法律文书未规定履行期间的，从法律文书生效之日起计算。但需注意，这并不意味着超过二年银行就完全丧失追偿权，因为可能存在中断、中止等法定情形。
执行人可能面临的法律后果：
- 信用受损：借款人未按约定偿还贷款，其信用记录将受到严重影响，可能影响其未来的贷款、信用卡申请等。
- 财产被执行：若借款人拒不偿还剩余债务，法院可以对其其他财产进行执行，以满足银行的债权。
- 承担法律责任：在极端情况下，若借款人存在恶意逃避债务等行为，可能构成犯罪，需承担刑事责任。
特殊场景：
- 借款人无力偿还：若借款人确实无力偿还剩余债务，且没有其他可供执行的财产，银行可能会面临无法全额追偿的风险。此时，银行可能会与借款人协商达成和解协议，如分期偿还、减免部分债务等。
- 借款人逃避执行：若借款人采取隐匿、转移财产等手段逃避执行，法院可以依法对其采取罚款、拘留等强制措施；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
行动建议：
- 积极与银行沟通：若借款人面临按揭还款困难，应积极与银行沟通，寻求解决方案，如调整还款计划、申请延期还款等。
- 了解法律后果：借款人应充分了解未按约定偿还贷款可能面临的法律后果，以便做出明智的决策。
- 寻求法律帮助：若借款人无法自行解决还款问题，可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
法律条文参考：
- 《中华人民共和国民法典》第六百七十五条：“借款人应当按照约定的期限返还借款。对借款期限没有约定或者约定不明确，依据本法第五百一十条的规定仍不能确定的，借款人可以随时返还；贷款人可以催告借款人在合理期限内返还。”
- 《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十六条：“申请执行的期间为二年。申请执行时效的中止、中断，适用法律有关诉讼时效中止、中断的规定。前款规定的期间，从法律文书规定履行期间的最后一日起计算；法律文书规定分期履行的，从最后一期履行期限届满之日起计算；法律文书未规定履行期间的，从法律文书生效之日起计算。”
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