结论概述：在天津男童海底捞被烫伤事件中，结合新闻背景，家长与店家谁更有理需从双方责任划分角度分析。若家长未尽到监护责任，且店家已尽到安全保障义务，则店家拒绝赔偿有理；若店家未尽到安全保障义务，则家长索赔有一定合理性。以下从法律角度进行详细分析：

一、事件法律定性

此事件属于侵权损害赔偿纠纷，具体为产品质量（此处更准确地说，是服务过程中的安全保障问题）引发的侵权责任纠纷。根据《民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”以及第一千一百九十八条：“宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。”在此事件中，需判断家长和店家各自是否存在过错，以及过错与损害结果之间的因果关系。

二、家长责任分析

1. 监护责任：家长作为男童的监护人，有义务保护其人身安全。根据新闻背景，男童在店内乱跑，父母却未有效管束，显然未尽到监护责任。若因家长监护不力导致男童受伤，家长应承担相应责任。

2. 过错认定：家长允许男童在公共场所乱跑，增加了发生意外的风险。在此事件中，男童突然冲出撞翻锅底，是导致烫伤的直接原因。家长对此存在明显过错。

三、店家责任分析

1. 安全保障义务：店家作为经营场所的管理者，有义务为顾客提供安全的环境。这包括确保店内设施安全、提醒顾客注意安全等。根据新闻背景，店员在事发前已三次提醒男童母亲看好孩子，表明店家已尽到一定的安全保障义务。

2. 过错认定：若店家在提供服务过程中，未尽到安全保障义务，如未设置警示标志、未及时清理障碍物等，导致顾客受伤，则店家应承担相应责任。但在此事件中，店家已尽到提醒义务，且服务员正常工作时遭遇孩子突然冲出，难以预见和避免此类意外。因此，店家在此事件中过错较小或无过错。

四、责任划分与赔偿

1. 责任划分：根据双方过错程度，可划分责任比例。若家长未尽到监护责任，且店家已尽到安全保障义务，则家长应承担主要或全部责任；若店家未尽到安全保障义务，则店家应承担相应责任。

2. 赔偿问题：根据责任划分，若店家无责任或责任较小，则有权拒绝赔偿或仅承担部分赔偿；若店家有责任，则应根据责任比例承担相应赔偿。在此事件中，店家已明确表示拒绝赔偿，并准备起诉男童母亲对门店造成的不良影响，这表明店家认为自身无责任或责任极小。

五、对公众的启示

1. 家长应加强监护：家长在公共场所应加强对孩子的监护，防止孩子乱跑、乱动等行为，确保孩子的人身安全。

2. 店家应完善安全保障措施：店家应进一步完善安全保障措施，如设置警示标志、加强员工培训、及时清理障碍物等，以降低意外发生的风险。

3. 理性处理纠纷：在发生纠纷时，双方应理性处理，通过协商、调解或诉讼等方式解决争议，避免情绪化表达和过度维权。

综上所述，在天津男童海底捞被烫伤事件中，若家长未尽到监护责任且店家已尽到安全保障义务，则店家拒绝赔偿有理；反之，若店家未尽到安全保障义务，则家长索赔有一定合理性。具体责任划分需根据双方过错程度和证据情况综合判断。如有进一步法律疑问，可直接向我咨询。