结论：女儿可以以自身健康权受侵害为由，起诉父亲要求其承担住院费等医疗相关费用，但需结合具体情况收集证据、确定诉讼策略。以下是详细分析：

一、法律关系分析

1. 父母对子女的抚养义务 根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条规定，父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。这里的抚养义务包括为子女提供生活、医疗、教育等方面的费用。如果女儿属于不能独立生活的成年子女（比如因抑郁等疾病丧失劳动能力等情况），父亲有义务承担其医疗费用。
2. 侵权责任角度 父亲出轨背叛的行为虽然主要是违背了夫妻之间的忠诚义务，但如果这种行为对女儿造成了严重的精神伤害，进而导致女儿抑郁生病，从侵权责任的角度来看，女儿可以主张父亲的行为侵犯了其健康权。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在这种情况下，女儿有权要求父亲赔偿因侵权行为导致的损失，包括住院费等医疗费用。

二、起诉前的准备工作

1. 收集证据
   • 证明亲子关系：提供户口本、出生证明等文件，以证明女儿与父亲之间的亲子关系，这是确定父亲抚养义务的基础。
   • 证明父亲出轨行为：可以收集聊天记录、照片、视频等证据，证明父亲存在出轨背叛的行为。但要注意收集证据的合法性，不能通过非法手段获取证据，否则证据可能不被法院采纳。
   • 证明女儿抑郁与父亲出轨的因果关系：这需要专业的医疗机构出具诊断证明、病历等，说明女儿抑郁的病情以及可能的原因。同时，如果有心理咨询记录等，也可以作为辅助证据，证明女儿的心理状态受到父亲出轨行为的影响。
   • 证明住院费用：保留医院的收费凭证、发票等，以证明女儿因抑郁住院所产生的具体费用。
2. 确定被告信息 需要明确父亲的姓名、年龄、住址、联系方式等基本信息，以便向法院提起诉讼时能够准确送达法律文书。
3. 撰写起诉状 起诉状应当包括原告（女儿）和被告（父亲）的基本信息、诉讼请求（要求父亲支付住院费等具体金额）、事实与理由（详细阐述父亲出轨的行为、女儿抑郁的情况以及两者之间的因果关系等）以及证据和证据来源等内容。

三、诉讼流程

1. 向法院提起诉讼 女儿作为原告，可以向父亲住所地的基层人民法院提起民事诉讼，提交起诉状和相关证据材料。法院在收到起诉状后，会进行审查，符合立案条件的，会予以立案。
2. 参加庭审 在庭审过程中，女儿需要按照法院的安排，出庭陈述事实、提供证据，并进行辩论。父亲作为被告，也有权进行答辩和反驳。法院会根据双方提供的证据和陈述，进行审理和判断。
3. 等待判决结果 法院在审理结束后，会根据事实和法律规定作出判决。如果判决父亲承担住院费等费用，父亲应当在判决规定的期限内履行义务。如果父亲不履行判决，女儿可以向法院申请强制执行。