针对您提出的问题，即同一家公司使用不同名称与您签订了两次劳动合同，且第二次合同到期时公司不续签，这种情况下公司应如何赔偿，以下是我的详细解答：
一、经济补偿的支付条件
根据《劳动合同法》的相关规定，当您与公司的第二次固定期限劳动合同到期后，除非公司维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而您不同意，否则公司在终止劳动合同时应向您支付经济补偿。这里的关键是，合同到期不续签，且非因您个人原因（如您主动提出不续签或存在严重违反公司规章制度等情形），公司应承担支付经济补偿的责任。
二、经济补偿的计算标准
经济补偿的计算主要依据您在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资。具体来说：
工作年限：每满一年，公司应支付您一个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算并支付一个月工资；不满六个月的，支付半个月工资。
月工资标准：这里的“月工资”指的是您在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
三、关于公司使用不同名称签订合同的影响
尽管公司使用了不同的名称与您签订合同，但这并不改变您与公司之间的劳动关系本质。只要您能证明这两次合同都是与同一家公司（或其关联公司）签订的，且工作连续，那么您的工作年限应连续计算，用于确定经济补偿的支付标准。
四、特定情形下的免责
如果公司能证明您存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、被依法追究刑事责任等，导致公司决定不续签劳动合同的，那么公司无需支付经济补偿。但这种情况需要公司承担举证责任。
五、维权建议
沟通协商：首先，您可以尝试与公司进行沟通协商，了解公司不续签的具体原因，并争取达成合理的经济补偿协议。
寻求法律帮助：如果双方无法达成一致，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
保留证据：在维权过程中，您应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、沟通记录等，以证明您的工作年限、工资水平以及公司不续签的事实。
综上所述，当您与公司的第二次劳动合同到期且公司不续签时，您有权要求公司支付经济补偿。经济补偿的计算依据您的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资来确定。如果公司拒绝支付或您对支付标准有异议，可以通过法律途径来维护自己的权益。