结论：执法队在特定情况下对违建拆除具有监督权，甚至直接执行拆除的权力，但这必须基于法定程序和相应授权。
详细分析：
执法队的监督权与拆除权基础：
- 执法队，特别是城市管理综合执法部门或乡镇人民政府的执法力量，在违建查处中扮演着重要角色。它们不仅有权对违法建设进行查处，还在特定条件下拥有监督违建拆除及直接执行拆除的权力。
具有监督权与直接拆除权的情况：
- 城市管理综合执法部门：在城市规划区内，若执法队作为城市管理综合执法部门的一部分，且已通过立法等形式被赋予相应的执法权限，它们有权对违法建设进行查处。在认定某建筑属于违法建设，并依法下达责令限期拆除决定书等法律文书后，若当事人在规定期限内未自行拆除，执法队可以依据《城乡规划法》等相关法律法规规定的程序，组织强制拆除，此时也伴随着对拆除过程的监督权。
- 乡镇人民政府的执法力量：在乡、村庄规划区内，乡镇人民政府有权对违法建筑进行查处。执法队作为乡镇政府的执法力量，在经过一系列法定程序（如调查取证、告知当事人权利、作出责令限期拆除决定等）后，若当事人拒不拆除，可以在乡镇政府的授权和组织下直接拆除违建，并监督拆除过程。
- 县级以上政府责成的情况：如果违建影响了规划实施、交通安全等公共利益，且执法部门已依法责令停建、限期拆除甚至罚款，但当事人在规定时间内仍未拆除，那么县级以上政府可以责成有关部门（包括执法队）进行强制拆除，并监督拆除的合法性和正当性。
没有监督权与直接拆除权的情况：
- 未经法定程序和授权：若执法队未经当地法律授权或未按照法定的调查、认定、告知、听证等程序，则无权直接拆除违建，也无权监督拆除过程。随意拆除或监督可能构成行政违法，当事人有权通过行政复议、行政诉讼等法律途径维护自身合法权益。
- 超出法定职责范围：不同地区对各部门的职责划分有明确规定。如果该违建查处不属于执法队的法定职责范畴（如特定区域如自然保护区、风景名胜区内的违建查处由专门的管理机构负责），则执法队没有直接拆除的权力，也无权监督拆除。
法律建议：
- 对于执法队而言，明确自身的执法权限和职责范围至关重要。在拆除违建或监督拆除过程中，必须严格遵守法定程序和法律规定，确保执法的合法性和正当性。
- 当事人在面对执法队的拆除行为或监督时，应了解自己的权利和义务。如有异议，可通过法律途径进行维权，如申请行政复议或提起行政诉讼。
可能后果：
- 若执法队未经法定程序或未获得授权而拆除违建或进行监督，可能面临行政违法指控，并需承担相应的法律责任。
- 当事人若认为执法队的拆除行为或监督违法，有权通过法律途径维护自身权益，可能导致执法队面临法律纠纷和声誉损失。
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