在以下情形下，公司可以辞退员工且无需支付赔偿：
员工存在严重过错：
- 具体情形：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，员工若存在以下严重过错，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿：
- 在试用期间被证明不符合录用条件的；
- 严重违反用人单位的规章制度的；
- 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
- 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的（即以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的）；
- 被依法追究刑事责任的。
- 举例说明：若员工在试用期内多次迟到早退，且经公司多次提醒仍不改正，公司可以以其不符合录用条件为由解除劳动合同，无需支付赔偿。
员工主动提出离职或协商一致解除劳动合同：
- 具体情形：若员工主动提出离职，或者与公司协商一致解除劳动合同，公司无需支付经济补偿。但需注意，协商一致解除劳动合同需双方达成合意，且最好以书面形式确认，以避免后续纠纷。
- 举例说明：员工因个人原因提出离职，并填写了离职申请表，公司同意后，双方劳动关系解除，公司无需支付赔偿。
劳动合同到期且公司不续签（特定情形下）：
- 具体情形：一般情况下，劳动合同到期公司不续签需支付经济补偿。但若员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的严重过错，或者员工主动提出不续签劳动合同，公司则无需支付经济补偿。
- 举例说明：员工因严重违反公司规章制度被辞退，且劳动合同即将到期，公司决定不续签，此时公司无需支付经济补偿。
员工达到法定退休年龄或开始依法享受基本养老保险待遇：
- 具体情形：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，员工达到法定退休年龄或开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止，公司无需支付经济补偿。
- 举例说明：员工年满60周岁，达到法定退休年龄，公司与其终止劳动合同，无需支付赔偿。
法律建议：
- 对于公司而言，在辞退员工时，应确保符合上述法定情形，并保留相关证据，如员工违纪记录、离职申请表、协商一致解除劳动合同的协议等，以避免后续法律纠纷。
- 对于员工而言，若被公司辞退且认为不符合法定情形，可以依法向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
可能后果：
- 若公司违法辞退员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准根据员工在公司的工作年限和月工资确定，具体为每工作一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
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