乡镇人大代表因醉驾被判刑后，人大需按以下程序处理其代表资格问题：

1. 启动程序的前提
   根据《中华人民共和国全国人民代表大会和地方各级人民代表大会代表法》（以下简称《代表法》）第四十九条，代表因“被依法判处管制、拘役或者有期徒刑以上刑罚并正在服刑”的，其代表资格终止。醉驾被判刑属于“有期徒刑以上刑罚”范畴（即使缓刑也符合条件），因此程序必然启动。

2. 具体处理流程

   • 原选举单位（乡镇人大）报告：
     由乡镇人大主席团或常委会向县级人大常委会书面报告该代表的刑事判决情况，并附法院判决书等材料。
     
   • 县级人大常委会审查：
     县级人大常委会对材料进行审查，确认判决生效后，作出终止该代表资格的决定。
     
   • 公告与备案：
     县级人大常委会将终止决定公告，并报上一级人大常委会备案（如市级人大常委会）。
     
   • 补选程序（可选）：
     若该代表席位空缺，根据《选举法》第五十六条，可在原选区补选新代表，但需满足“代表缺额超过原名额五分之一”等条件。

3. 关键时间节点

   • 判决生效后：程序自法院判决生效之日起启动，无需等待上诉期届满（若代表未上诉，判决生效即启动；若上诉，需等二审判决生效）。
     
   • 人大会议期间/闭会期间：
     
     • 若在人大会议期间，由主席团提请大会表决终止资格；
       
     • 若在闭会期间，由常委会直接决定并公告。

4. 特殊情形说明

   • 缓刑是否影响资格：
     即使代表被判缓刑，只要判决生效且刑罚为有期徒刑以上，仍需终止资格。缓刑仅是执行方式，不改变刑罚性质。
     
   • 代表申诉或上诉期间：
     程序不因代表申诉或上诉中止，但若二审改判无罪或免于刑事处罚，已终止的资格可恢复（需重新履行选举程序）。

建议：若涉及具体案件，可进一步提供判决文书或案件细节，我可协助分析程序合规性或代表权利救济途径。