针对您提出的问题，即“有资质的司法鉴定中心结果十级伤残，但保险公司不认可怎么办”，以下是我为您提供的详细解答：

首先，需要明确的是，司法鉴定中心出具的鉴定结果，在具备相应资质且鉴定程序合法的情况下，是具有法律效力的。如果保险公司不认可这一鉴定结果，它需要提出充分的证据来支持其观点，否则，其不认可的主张可能不会被法院采纳。

一、保险公司的举证责任

根据“谁主张，谁举证”的原则，如果保险公司不认可司法鉴定结果，它应当承担举证责任，即提供证据证明该鉴定结果存在错误或不合理之处。这可能包括但不限于：

1. 指出鉴定程序中的违法或不当之处；
2. 提供相反的医疗证据或专家意见，证明伤残等级与鉴定结果不符；
3. 证明鉴定机构或鉴定人员不具备相应的资质或存在偏见。

二、申请补充鉴定

如果保险公司认为原鉴定结果存在疑问，但无法直接提供充分证据来反驳，它可以选择申请补充鉴定。补充鉴定可以在原鉴定机构进行，也可以由其他有资质的鉴定机构进行。通过补充鉴定，可以进一步明确伤残等级、外伤参与度等关键问题，为法院判决提供更充分的依据。

三、法院的判决依据

在民事诉讼中，法院会依据证据来认定事实，并依法进行裁判。如果保险公司不认可司法鉴定结果，但未能提供充分证据来支持其观点，且未申请补充鉴定，那么法院可能会采信原司法鉴定结果，并据此进行判决。这正如您所提到的案例中，建始法院和恩施州中院均采信了司法鉴定意见书，并在此基础上作出了判决。

四、您的应对策略

1. 保持冷静，收集证据：首先，您需要保持冷静，不要因为保险公司的不认可而慌乱。同时，收集并保存好所有与伤残鉴定相关的证据，包括医疗记录、鉴定报告、照片等。

2. 与保险公司沟通：尝试与保险公司进行沟通，了解其不认可的具体原因，并看是否能够通过协商解决问题。如果保险公司提出合理的疑点或要求补充鉴定，您可以考虑配合。

3. 寻求法律援助：如果与保险公司的沟通无果，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师。律师可以帮助您分析案情，提供法律建议，并代表您与保险公司进行谈判或提起诉讼。

4. 准备诉讼材料：如果决定提起诉讼，您需要准备充分的诉讼材料，包括起诉状、证据清单、鉴定报告等。同时，确保所有材料都符合法院的要求和格式。

综上所述，如果保险公司不认可有资质的司法鉴定中心出具的十级伤残结果，它需要承担举证责任，并可能面临法院采信原鉴定结果的风险。作为受伤方，您应保持冷静，收集证据，与保险公司沟通，并在必要时寻求法律援助。