冤假错案的纠正与责任承担主要涉及人民法院、人民检察院以及其他相关部门，以下是对此问题的详细解答：
人民法院的职责
- 审判监督程序：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院提出申诉。人民法院对确有错误的生效裁判，可以依职权启动再审程序，重新审理案件，纠正错误判决。
- 具体负责部门：立案庭负责接收申诉材料，进行初步审查；刑事审判庭或专门设立的审判监督庭负责对申诉案件进行实质审查，决定是否启动再审程序。
- 再审程序：如果发现原判决、裁定在认定事实或适用法律上确有错误，法院将依法改判或发回重审。
人民检察院的职责
- 法律监督职能：人民检察院是国家的法律监督机关，有权对法院的审判活动进行监督。对于发现的冤假错案，检察院可以提出抗诉，要求法院重新审理。
- 具体负责部门：控告申诉检察部门负责接收当事人的申诉材料，进行初步调查核实；刑事执行检察部门（监所检察部门）对于涉及服刑人员的申诉，可能参与调查和监督。
- 抗诉程序：检察院认为法院判决确有错误的，可以向同级人民法院提出抗诉，引发再审程序。
其他相关部门的协助
- 公安机关：在必要时，配合法院或检察院的调查工作，提供必要的证据和材料。
- 司法行政机关：如律师协会等，可以为申诉人提供法律援助，帮助其维护合法权益。
责任承担主体及形式
- 司法人员个人层面：侦查人员、检察人员、审判人员在各自环节中若存在违法行为或重大过失，将面临行政处分或刑事责任。例如，侦查人员刑讯逼供可能构成刑讯逼供罪；审判人员故意违背事实和法律作枉法裁判，可能构成民事、行政枉法裁判罪。
- 司法机关层面：根据《国家赔偿法》，冤假错案导致公民合法权益受损时，作出错误司法行为的司法机关需承担国家赔偿责任，支付赔偿金。同时，司法机关内部将启动监督和纠错程序，追究相关责任人责任，并通过完善制度、加强培训等方式预防类似错误再次发生。
- 赔偿义务机关：赔偿义务机关在赔偿后，有权向在处理案件中有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为的工作人员追偿部分或全部赔偿费用。
申诉途径与赔偿请求
- 申诉途径：当事人及其法定代理人、近亲属认为已生效的判决、裁定有错误时，可向人民法院或人民检察院提出申诉。虽然申诉不能停止判决、裁定的执行，但它是启动审判监督程序的重要途径。
- 赔偿请求：赔偿请求人要求赔偿时，应先向赔偿义务机关提出；也可在申请行政复议或提起行政诉讼时一并提出。国家赔偿以支付赔偿金为主，同时可能采取返还财产或恢复原状的方式进行。侵犯公民人身自由的赔偿金按国家上年度职工日平均工资计算。
总结与建议：
冤假错案的纠正与责任承担是一个复杂而严谨的过程，涉及多个法律主体和程序。如果您或您身边的人遭遇了冤假错案，建议及时向人民法院或人民检察院提出申诉，并寻求专业律师的帮助，以确保您的合法权益得到有效维护。同时，也希望司法机关能够不断完善内部监督和纠错机制，预防类似错误的发生，共同维护司法公正和社会稳定。